Номер 1113, страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1113, страница 281.

1113 Найдите площадь треугольника ABC, если:

а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc;

б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.

а)

Обозначим стороны треугольника ABC, противолежащие вершинам A, B и C, как a, b и c соответственно. Высота, проведенная из вершины B, равна $h_b$, а высота из вершины C равна $h_c$.

Площадь треугольника S можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней. Используя данные высоты, мы можем записать два выражения для площади:

$S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Из этих уравнений мы можем выразить стороны b и c через площадь S и известные высоты:

$b = \frac{2S}{h_b}$

$c = \frac{2S}{h_c}$

Также площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними. Угол между сторонами b и c — это $\angle A = \alpha$.

$S = \frac{1}{2} b c \sin(\alpha)$

Теперь подставим выражения для сторон b и c в эту формулу:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2S}{h_b}\right) \left(\frac{2S}{h_c}\right) \sin(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{1}{2} \frac{4S^2}{h_b h_c} \sin(\alpha) = \frac{2S^2 \sin(\alpha)}{h_b h_c}$

Поскольку площадь треугольника $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на S:

$1 = \frac{2S \sin(\alpha)}{h_b h_c}$

Наконец, выразим площадь S:

$S = \frac{h_b h_c}{2 \sin(\alpha)}$

Ответ: $S = \frac{h_b h_c}{2 \sin(\alpha)}$

б)

В этом случае нам даны два угла $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высота $h_b = h$, проведенная из вершины B. Обозначим стороны треугольника, как и в предыдущем пункте.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$. Чтобы воспользоваться этой формулой, нам нужно найти выражения для сторон a и c.

Пусть BD — высота, проведенная из вершины B на сторону AC. Тогда $BD = h_b = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем гипотенуза — это сторона AB (равная c), а катет BD (равный h) лежит против угла A. Следовательно:

$\sin(\angle A) = \frac{h}{c}$, то есть $\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$

Отсюда находим сторону c:

$c = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем сторону a. Сначала определим угол C. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. В нем гипотенуза — это сторона BC (равная a), а катет BD (равный h) лежит против угла C. Следовательно:

$\sin(\angle C) = \frac{h}{a}$

$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \frac{h}{a}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{h}{a}$

Отсюда находим сторону a:

$a = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь у нас есть выражения для сторон a и c. Подставим их в формулу площади $S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \left(\frac{h}{\sin(\alpha)}\right) \sin(\beta)$

Упростив, получаем окончательную формулу для площади:

$S = \frac{h^2 \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}$