Страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1144 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть ABС — равнобедренный треугольник с основанием AB и AA₁, BB₁ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 341). Введём обозначения $\overrightarrow{C{A}_1}=\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{C{B}_1}=\overrightarrow{b},$ $C{A}_1=C{B}_1=a.$ Тогда $\overrightarrow{АА}₁=\overrightarrow{СА}₁-\overrightarrow{СА}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{BB}₁=\overrightarrow{СB}₁-\overrightarrow{СB}=\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a},$ поэтому

$\overrightarrow{AA}₁\cdot \overrightarrow{BB}₁=(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a})=5\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}. \left(6\right)$

По условию задачи AA₁⊥BB₁ и, следовательно, $\overrightarrow{АА}₁\cdot \overrightarrow{ВВ}₁=0.$ Далее, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a² \cos C,$ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=a²,$ $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=a²,$ поэтому равенство (6) принимает вид $0=5a² \cos С-4а².$ Отсюда получаем $\text{cos }C=\frac{4}{5},$ ∠С≈36°52′.

Для решения задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее наглядных: векторный и координатный.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ и вершиной $C$. Искомый угол — $\angle C$. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Так как треугольник равнобедренный, модули этих векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$.

Медианы $AA_1$ и $BB_1$ проведены к боковым сторонам $BC$ и $AC$. Точка $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$. Выразим векторы медиан:
$\vec{AA_1} = \vec{CA_1} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{BB_1} = \vec{CB_1} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{CA} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

По условию, медианы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = 0$.

$(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$\frac{1}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}) + (\vec{b}\cdot\vec{a}) = 0$
$\frac{5}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 = 0$

Подставим $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$ и $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos C = l^2\cos C$:

$\frac{5}{4}l^2\cos C - \frac{1}{2}l^2 - \frac{1}{2}l^2 = 0$

$\frac{5}{4}l^2\cos C - l^2 = 0$

Поскольку $l \neq 0$, делим на $l^2$ и получаем:
$\frac{5}{4}\cos C = 1 \implies \cos C = \frac{4}{5}$.

Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.

Разместим треугольник в декартовой системе координат. Пусть основание $AB$ лежит на оси $x$, а вершина $C$ — на оси $y$. Если полудлина основания равна $b$, а высота равна $h$, то координаты вершин: $A(-b, 0)$, $B(b, 0)$, $C(0, h)$.

Координаты середин боковых сторон $A_1$ (середина $BC$) и $B_1$ (середина $AC$):
$A_1 = (\frac{b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$
$B_1 = (\frac{-b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (-\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$

Координаты векторов медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$:
$\vec{AA_1} = \{\frac{b}{2} - (-b), \frac{h}{2} - 0\} = \{\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$
$\vec{BB_1} = \{-\frac{b}{2} - b, \frac{h}{2} - 0\} = \{-\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$

Из условия перпендикулярности $AA_1 \perp BB_1$ следует, что скалярное произведение векторов равно нулю:

$(\frac{3b}{2}) \cdot (-\frac{3b}{2}) + (\frac{h}{2}) \cdot (\frac{h}{2}) = 0 \implies -\frac{9b^2}{4} + \frac{h^2}{4} = 0 \implies h^2 = 9b^2 \implies h=3b$.

Угол $C$ — это угол между векторами $\vec{CA}=\{-b, -h\}$ и $\vec{CB}=\{b, -h\}$. Найдём его косинус:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-b)(b) + (-h)(-h)}{\sqrt{b^2+h^2}\sqrt{b^2+h^2}} = \frac{-b^2+h^2}{b^2+h^2}$

Подставив $h^2 = 9b^2$, получим:

$\cos C = \frac{-b^2 + 9b^2}{b^2 + 9b^2} = \frac{8b^2}{10b^2} = \frac{4}{5}$.

Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.

1145 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим ромб $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Требуется доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Доказательство:

1. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, в ромбе $ABCD$ сторона $AB$ равна стороне $AD$.

$AB = AD$

2. Из этого следует, что треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

3. Ромб также является параллелограммом. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

$BO = OD$

4. Отрезок $AO$ в треугольнике $\triangle ABD$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BD$. Таким образом, $AO$ является медианой этого треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$, его медиана $AO$ является одновременно и высотой.

6. По определению высоты, отрезок $AO$ перпендикулярен основанию $BD$. Это означает, что угол между отрезком $AO$ и отрезком $BO$ (или $DO$) равен $90^\circ$.

$\angle AOB = 90^\circ$

7. Так как отрезки $AO$ и $BO$ являются частями диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно, то и сами диагонали пересекаются под прямым углом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, так как диагонали делят ромб на равнобедренные треугольники, в которых отрезки других диагоналей являются одновременно медианами и высотами.

1 Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных шага: сначала начертить декартову систему координат, а затем построить в ней единичную полуокружность.

Начертите оси координат

На плоскости чертятся две взаимно перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс (ось $Ox$), а вертикальная — осью ординат (ось $Oy$). Точка их пересечения $O$ является началом координат, ее координаты — $(0; 0)$. На осях выбирается положительное направление (обычно стрелкой вправо для $Ox$ и вверх для $Oy$) и устанавливается единичный отрезок. Для последующего построения необходимо отметить на оси $Ox$ точки $1$ и $-1$, а на оси $Oy$ — точку $1$.

постройте единичную полуокружность

Единичная полуокружность — это половина окружности, радиус которой равен единице ($R=1$), а центр находится в начале координат $O(0; 0)$. Уравнение, которое описывает всю единичную окружность, имеет вид: $x^2 + y^2 = 1$.

Обычно под единичной полуокружностью подразумевают ее верхнюю часть, расположенную над осью абсцисс, для которой все значения ординаты $y$ неотрицательны ($y \ge 0$). Уравнение такой полуокружности: $y = \sqrt{1-x^2}$.

Для ее построения с помощью циркуля необходимо установить его острие в начало координат, точку $O(0; 0)$, задать радиус, равный единичному отрезку (например, расстоянию от $O$ до точки $(1; 0)$), и провести дугу, соединяющую точки $(-1; 0)$ и $(1; 0)$. Эта дуга будет располагаться в I и II координатных четвертях и проходить через точку $(0; 1)$.

Ответ: В результате построения на координатной плоскости $xOy$ должна получиться дуга с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $1$, которая соединяет точки $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ и расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

2 Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°.

Для определения синуса и косинуса угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ используется понятие единичной полуокружности в прямоугольной системе координат.

Рассмотрим в системе координат $Oxy$ окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Часть этой окружности, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$), называют единичной полуокружностью.

Отложим от положительного направления оси $Ox$ угол $\alpha$ против часовой стрелки. Луч, образующий этот угол, пересечет единичную полуокружность в некоторой точке $M$. Координаты этой точки мы обозначим как $(x, y)$.

Синусом угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $M$.
$\sin \alpha = y$

Косинусом угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) называется абсцисса (координата $x$) точки $M$.
$\cos \alpha = x$

Таким образом, синус и косинус угла $\alpha$ — это просто координаты точки на единичной полуокружности, соответствующей этому углу.

Рассмотрим значения синуса и косинуса для разных типов углов в этом промежутке:
1. Если $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то точка $M$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти $x > 0$ и $y > 0$, поэтому $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$.
2. Если $\alpha$ — прямой угол ($\alpha = 90^\circ$), то точка $M$ совпадает с точкой $(0, 1)$. Следовательно, $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.
3. Если $\alpha$ — тупой угол ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то точка $M$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти $x < 0$ и $y > 0$, поэтому $\cos \alpha < 0$, а $\sin \alpha > 0$.
4. Для граничных углов:
- при $\alpha = 0^\circ$, точка $M$ имеет координаты $(1, 0)$, поэтому $\cos 0^\circ = 1$ и $\sin 0^\circ = 0$.
- при $\alpha = 180^\circ$, точка $M$ имеет координаты $(-1, 0)$, поэтому $\cos 180^\circ = -1$ и $\sin 180^\circ = 0$.

Так как любая точка $M(x, y)$ на единичной окружности удовлетворяет уравнению $x^2 + y^2 = 1$, то, подставив в него определения синуса и косинуса, мы получим основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, которое верно для любого угла $\alpha$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ называется ордината (координата $y$), а косинусом — абсцисса (координата $x$) точки на единичной полуокружности в верхней полуплоскости, которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси абсцисс.

3 Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

Что называется тангенсом угла ??

Тангенсом угла ? (обозначается как $tg\alpha$ или $tan\alpha$) называется одна из основных тригонометрических функций. Существует несколько эквивалентных определений тангенса:

• Через отношение синуса и косинуса: Это наиболее общее определение. Тангенс угла ? — это отношение синуса этого угла к его косинусу.

  $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

• В прямоугольном треугольнике: Для острого угла ? в прямоугольном треугольнике тангенс — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

• С помощью единичной окружности: Тангенс угла ? — это ордината (координата y) точки пересечения конечной стороны угла с "осью тангенсов" — касательной к единичной окружности, проведенной через точку с координатами (1, 0).

Ответ: Тангенсом угла ? называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

Для какого значения ? тангенс не определён и почему?

Тангенс угла ? определяется формулой $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Следовательно, тангенс не определён для тех значений угла ?, при которых косинус этого угла равен нулю.

Уравнение $\cos\alpha = 0$ имеет решения, когда угол ? соответствует точкам на единичной окружности, лежащим на вертикальной оси (оси OY).

Эти значения можно записать общей формулой в радианах:

$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В градусной мере это выглядит так:

$\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Почему? Причина, по которой тангенс для этих углов не определён, заключается в том, что его вычисление сводится к операции деления на ноль ($\cos\alpha = 0$), которая в математике не определена.

Ответ: Тангенс не определён для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (или $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$), где $k$ — любое целое число, потому что для этих углов $\cos\alpha = 0$, а деление на ноль является недопустимой математической операцией.

4 Что называется котангенсом угла α? Для каких значений α котангенс не определён и почему?

Что называется котангенсом угла ??

Котангенсом угла $\alpha$ называется числовая функция, определяемая как отношение косинуса этого угла к его синусу. Математически это записывается в виде формулы:

$ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Также существуют другие эквивалентные определения:

• В прямоугольном треугольнике котангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине противолежащего катета.
• На единичной окружности, если повороту на угол $\alpha$ соответствует точка $P$ с координатами $(x, y)$, то котангенс этого угла равен отношению абсциссы ($x$) к ординате ($y$) этой точки: $ctg(\alpha) = \frac{x}{y}$.
• Котангенс является величиной, обратной тангенсу: $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$.

Ответ: Котангенс угла $\alpha$ — это отношение косинуса угла $\alpha$ к синусу угла $\alpha$, то есть $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Для каких значений ? котангенс не определен и почему?

Котангенс угла $\alpha$ определен формулой $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Данное выражение является дробью. В математике любая дробь не имеет смысла (не определена), если её знаменатель равен нулю.

Следовательно, чтобы найти значения $\alpha$, для которых котангенс не определен, необходимо найти углы, при которых знаменатель дроби, то есть $\sin(\alpha)$, обращается в ноль.

Решим уравнение:

$\sin(\alpha) = 0$

Это уравнение имеет решения, когда угол $\alpha$ соответствует точкам на единичной окружности, лежащим на оси абсцисс (Ox). Такие точки соответствуют углам, которые можно описать общей формулой:

$\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В градусной мере это соответствует углам $\alpha = 180^\circ \cdot k$. Например, это углы $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, -180^\circ$ и т.д.

Таким образом, котангенс не определен для всех этих значений угла $\alpha$, потому что его вычисление потребовало бы выполнения операции деления на ноль, которая в математике не определена.

Ответ: Котангенс не определен для значений $\alpha = \pi k$ (или $\alpha = 180^\circ \cdot k$), где $k$ — любое целое число, потому что для этих углов $\sin(\alpha) = 0$, что приводит к делению на ноль.

5 Докажите основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество устанавливает связь между синусом и косинусом одного и того же угла $\alpha$ и выглядит следующим образом: $$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $$ Доказательство этого тождества наиболее наглядно и универсально проводится с использованием единичной окружности.

Рассмотрим в декартовой системе координат $xOy$ окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом, равным единице ($R=1$). Такую окружность называют единичной. Уравнение единичной окружности имеет вид: $$ x^2 + y^2 = 1 $$

Возьмем на этой окружности произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$. Проведем радиус $OM$. Угол, который образует этот радиус с положительным направлением оси $Ox$ (при отсчете против часовой стрелки), обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций, координаты точки $M$ на единичной окружности равны косинусу и синусу угла $\alpha$:
Абсцисса точки (координата по оси x): $x = \cos(\alpha)$
Ордината точки (координата по оси y): $y = \sin(\alpha)$

Поскольку точка $M(x, y)$ принадлежит окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции: $$ (\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1 $$

Используя общепринятую сокращенную запись степеней тригонометрических функций $(\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$ и $(\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$, а также меняя слагаемые местами для получения традиционного вида, получаем искомое тождество: $$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $$ Так как точка $M$ была выбрана на окружности произвольно, то и угол $\alpha$ может быть любым. Следовательно, это равенство является тождеством, справедливым для любого действительного значения угла $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ доказано.

6 Напишите формулы приведения.

Формулы приведения — это тригонометрические тождества, позволяющие упрощать выражения вида $f(n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha)$, где $f$ — одна из тригонометрических функций (sin, cos, tan, cot), $n$ — целое число, а $\alpha$ — некоторый угол. Они сводят вычисление функции от сложного угла к вычислению функции от угла $\alpha$.

Для применения формул приведения используется общее мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака
Знак в правой части формулы совпадает со знаком, который имеет исходная функция в той координатной четверти, где находится угол $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. Для определения четверти угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

2. Определение функции
Название функции в правой части зависит от значения $n$ (или от оси, на которой лежит опорный угол $n \cdot \frac{\pi}{2}$):

• Если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($n$ — четное, т.е. углы вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$), название функции сохраняется.
• Если опорный угол лежит на вертикальной оси ($n$ — нечетное, т.е. углы вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$), название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$).

Формулы для углов вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$

• $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$
• $\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$
• $\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$
• $\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
• $\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов вида $\pi \pm \alpha$

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
• $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
• $\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$
• $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$
• $\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$

Формулы для углов вида $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$

• $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$
• $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$
• $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$
• $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$

• $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$
• $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$
• $\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
• $\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов вида $2\pi \pm \alpha$

Эти формулы также следуют из общего правила, а также из свойств периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций.

• $\sin(2\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha$
• $\tan(2\pi - \alpha) = \tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
• $\cot(2\pi - \alpha) = \cot(-\alpha) = -\cot\alpha$

Формулы для $2\pi + \alpha$ отражают периодичность: $\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha$ и т.д.

Ответ: Полный список формул приведения и мнемоническое правило для их вывода представлены выше. Основной принцип: знак результата определяется по знаку исходной функции в соответствующей четверти, а изменение функции на кофункцию происходит для опорных углов $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), в то время как для опорных углов $\pi$ и $2\pi$ (горизонтальная ось) функция сохраняется.

7 Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ задана точка $A$ с координатами $(x; y)$. По условию, ордината точки $A$ неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Начало координат, точка $O$, имеет координаты $(0; 0)$.

Обозначим длину отрезка $OA$ (расстояние от начала координат до точки $A$) через $r$. Таким образом, $r = |OA|$. Поскольку $r$ — это расстояние, $r \ge 0$.

Обозначим угол, образованный лучом $OA$ и положительным направлением оси $Ox$, через $\alpha$. Этот угол отсчитывается от положительной полуоси $Ox$ против часовой стрелки.

Чтобы найти связь между декартовыми координатами $(x; y)$ и полярными координатами $(r; \alpha)$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить, опустив перпендикуляр из точки $A$ на ось $Ox$. Назовем основание этого перпендикуляра точкой $P$. Координаты точки $P$ будут $(x; 0)$.

В полученном прямоугольном треугольнике $\triangle OPA$:

• гипотенуза $OA$ имеет длину $r$;
• катет $OP$, прилежащий к углу $\alpha$, имеет длину, равную абсциссе $x$ точки $A$ (если $x \ge 0$) или $|x|$ (в общем случае);
• катет $AP$, противолежащий углу $\alpha$, имеет длину, равную ординате $y$ точки $A$.

Используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике (которые обобщаются на любые углы с помощью тригонометрической окружности), мы можем записать:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{r}$

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{r}$

Из этих соотношений выразим $x$ и $y$:

$x = r \cdot \cos(\alpha)$

$y = r \cdot \sin(\alpha)$

Данные формулы являются искомыми. Они выражают декартовы координаты $x$ и $y$ точки $A$ через длину $r$ отрезка $OA$ и угол $\alpha$. Условие неотрицательности ординаты ($y \ge 0$) выполняется, когда $\sin(\alpha) \ge 0$ (поскольку $r \ge 0$), что соответствует углам $\alpha$ в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$).

Ответ: Формулы, выражающие координаты точки $A(x; y)$ через длину отрезка $r = |OA|$ и угол $\alpha$ между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$, имеют вид: $x = r \cdot \cos(\alpha)$ и $y = r \cdot \sin(\alpha)$.