Страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Формулировка теоремы

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Если в треугольнике даны стороны a и b, и угол ? между ними, то его площадь S можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

Доказательство

Пусть дан треугольник ABC, в котором $BC = a$, $AC = b$ и $\angle C = \gamma$.

Известно, что площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Примем в качестве основания сторону $AC = b$. Проведем высоту $BH = h$ из вершины B к прямой, содержащей сторону AC.

Тогда площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} b h$.

Далее необходимо выразить высоту h через известные величины a и ?. Для этого рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Угол ? — острый ($ \gamma < 90^\circ $).

Высота BH находится внутри треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем $BC = a$ является гипотенузой, а $BH = h$ — катетом, противолежащим углу ?. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin\gamma = \frac{h}{a}$

Отсюда получаем, что $h = a \sin\gamma$.

Случай 2: Угол ? — тупой ($ \gamma > 90^\circ $).

Высота BH падает на продолжение стороны AC за точку C. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол BCH является смежным с углом ?, поэтому $\angle BCH = 180^\circ - \gamma$. Катет $BH = h$ противолежит этому углу. По определению синуса:

$\sin(180^\circ - \gamma) = \frac{h}{a}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, мы снова получаем $\sin\gamma = \frac{h}{a}$, откуда $h = a \sin\gamma$.

Случай 3: Угол ? — прямой ($ \gamma = 90^\circ $).

Треугольник ABC — прямоугольный, и его катеты равны a и b. Высота BH, проведенная к основанию AC, совпадает со стороной BC, то есть $h = a$. Формула $h = a \sin\gamma$ также остается верной, так как $\sin(90^\circ) = 1$, и $h = a \cdot 1 = a$.

Таким образом, во всех трех случаях высота треугольника выражается формулой $h = a \sin\gamma$. Подставим это выражение для высоты в исходную формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b (a \sin\gamma) = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема гласит, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. Доказательство основано на том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}bh$). Высота h, опущенная на сторону b, выражается через прилежащую к ней сторону a и угол ? между ними как $h = a \sin\gamma$. Это соотношение справедливо для острого, тупого и прямого угла ?. Подстановка выражения для h в формулу площади доказывает теорему.

9 Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Формулировка теоремы синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности (расширенная теорема синусов).

Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, и радиусом описанной окружности $R$, справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Доказательство теоремы синусов

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ и углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Опишем около этого треугольника окружность радиуса $R$.

Докажем, что для любой стороны, например $a$, выполняется равенство $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. По аналогии будет следовать, что $\frac{b}{\sin\beta} = 2R$ и $\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, из чего и следует справедливость всей теоремы.

Для доказательства проведем из вершины $B$ диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $BDC$. Возможны три случая для угла $\alpha$.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый ($\alpha < 90^\circ$)

Углы $\angle BAC$ (равный $\alpha$) и $\angle BDC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, они равны: $\angle BDC = \angle BAC = \alpha$.

Треугольник $BDC$ является прямоугольным, так как его угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$. Таким образом, $\angle BCD = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BDC$ по определению синуса острого угла:

$$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $$

Подставляя известные величины ($BC=a$, $BD=2R$, $\angle BDC=\alpha$), получаем:

$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$

Отсюда следует, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой ($\alpha > 90^\circ$)

Рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник $ABDC$. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$$ \angle BDC + \angle BAC = 180^\circ $$

Отсюда $\angle BDC = 180^\circ - \alpha$.

Треугольник $BDC$ по-прежнему является прямоугольным, так как угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$.

В прямоугольном треугольнике $BDC$ имеем:

$$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $$

Подставляя известные величины, получаем:

$$ \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{a}{2R} $$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$

Отсюда также следует, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Случай 3: Угол $\alpha$ — прямой ($\alpha = 90^\circ$)

Если угол $\alpha$ прямой, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, а его гипотенуза $a$ (сторона $BC$) является диаметром описанной окружности. Таким образом, $a = 2R$.

Синус прямого угла равен единице: $\sin\alpha = \sin 90^\circ = 1$.

Подставим эти значения в доказываемое равенство:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{2R}{1} = 2R $$

Равенство верно.

Таким образом, во всех трех возможных случаях мы доказали, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. Аналогичные рассуждения можно провести для сторон $b$ и $c$ и углов $\beta$ и $\gamma$, получив $\frac{b}{\sin\beta} = 2R$ и $\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$.

Следовательно, справедливо равенство:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно удвоенному радиусу $R$ описанной около треугольника окружности: $ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $. Доказательство основано на рассмотрении треугольника, вписанного в окружность, и анализе трех случаев в зависимости от величины угла (острый, тупой или прямой).

10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Формулировка

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, справедливы следующие равенства:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Доказательство

Докажем справедливость формулы для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$, а угол при вершине $C$ — как $\gamma$.

Воспользуемся векторным методом. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Тогда их длины (модули) равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Угол между этими векторами равен $\gamma$.

Вектор $\vec{AB}$, соответствующий стороне $c$, можно выразить как разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$

Длина стороны $c$ равна модулю вектора $\vec{AB}$, то есть $c = |\vec{AB}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Возведём обе части равенства в квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:

$c^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Теперь воспользуемся определением скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.
• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos(\gamma)$.

Подставим эти выражения в полученную формулу для $c^2$:

$c^2 = a^2 - 2ab \cos(\gamma) + b^2$

Перегруппировав слагаемые, получаем итоговое выражение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Формулы для сторон $a$ и $b$ доказываются аналогично. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ верны формулы: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.

Слова «решение треугольника» означают нахождение всех его неизвестных элементов (трёх сторон и трёх углов) по известным элементам, которые однозначно его определяют. Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны ($a, b, c$) и три противолежащих им угла ($\alpha, \beta, \gamma$). Решение треугольника становится возможным, когда известны три из этих шести элементов, при условии, что хотя бы один из них является стороной.

Существует три основные задачи на решение произвольного треугольника:

1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними (СУС)

   Дано: Две стороны, например $a$ и $b$, и угол $\gamma$ между ними.

   Найти: Третью сторону $c$ и два других угла $\alpha$ и $\beta$.

   Объяснение решения:

   1. Третья сторона $c$ находится с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$. Из этого уравнения вычисляется значение $c$.

   2. После нахождения стороны $c$ можно найти второй угол, например $\alpha$, снова используя теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.

   3. Третий угол $\beta$ находится из свойства о сумме углов треугольника: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

   Ответ: Найдены сторона $c$ и углы $\alpha, \beta$.

2. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ)

   Дано: Сторона, например $c$, и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$.

   Найти: Третий угол $\gamma$ и две другие стороны $a$ и $b$.

   Объяснение решения:

   1. Третий угол $\gamma$ сразу находится из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

   2. Две неизвестные стороны $a$ и $b$ находятся с помощью теоремы синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$.

   3. Из пропорции находим стороны $a$ и $b$: $a = \frac{c \sin\alpha}{\sin\gamma}$ и $b = \frac{c \sin\beta}{\sin\gamma}$.

   Ответ: Найдены угол $\gamma$ и стороны $a, b$.

3. Решение треугольника по трем сторонам (ССС)

   Дано: Три стороны $a, b, c$.

   Найти: Три угла $\alpha, \beta, \gamma$.

   Объяснение решения:

   1. Сначала необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$). Если условие не выполняется, то решения не существует.

   2. Если треугольник существует, находим любой из углов, например $\alpha$, с помощью теоремы косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.

   3. Аналогично находим второй угол, например $\beta$: $\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.

   4. Третий угол $\gamma$ вычисляем из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

   Ответ: Найдены углы $\alpha, \beta, \gamma$.

12 Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

Определить высоту предмета, основание которого недоступно (например, дерева на другом берегу реки или здания за забором), можно с помощью тригонометрического метода, который требует измерения углов и одного расстояния на доступной территории. Метод основан на решении системы уравнений, полученных из рассмотрения прямоугольных треугольников.

Пошаговый алгоритм действий

Сначала выберите на доступной местности две точки, $A$ и $B$, расположенные на одной прямой с основанием предмета. Важно, чтобы из этих точек была видна вершина предмета. Затем с помощью рулетки или дальномера измерьте расстояние $d$ между точками $A$ и $B$ ($d = AB$). После этого, находясь в точке $A$, с помощью угломерного инструмента (например, теодолита или эклиметра) измерьте угол возвышения $\alpha$ — это угол между горизонталью и направлением на вершину предмета. Далее перейдите в точку $B$ и аналогично измерьте угол возвышения $\beta$. Наконец, используя полученные данные (расстояние $d$ и углы $\alpha$ и $\beta$), вычислите высоту предмета $H$ по формуле.

Вывод формулы и расчет

Пусть $H$ — искомая высота предмета $CD$ (где $C$ — вершина, а $D$ — недоступное основание). Точки наблюдения $A$ и $B$ лежат на одной прямой с точкой $D$. Для определенности предположим, что точка $A$ находится дальше от предмета, чем точка $B$. Расстояние между ними равно $AB = d$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ с катетами $AD$ и $CD=H$, и $\triangle BDC$ с катетами $BD$ и $CD=H$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

В $\triangle ADC$: $\tan \alpha = \frac{H}{AD}$, откуда $AD = \frac{H}{\tan \alpha} = H \cdot \cot \alpha$.

В $\triangle BDC$: $\tan \beta = \frac{H}{BD}$, откуда $BD = \frac{H}{\tan \beta} = H \cdot \cot \beta$.

Расстояния $AD$ и $BD$ связаны через известное расстояние $d$: $AD = BD + d$.

Подставим выражения для $AD$ и $BD$ в это равенство:

$H \cdot \cot \alpha = H \cdot \cot \beta + d$

Перенесем члены, содержащие $H$, в одну сторону:

$H \cdot \cot \alpha - H \cdot \cot \beta = d$

Вынесем $H$ за скобки:

$H (\cot \alpha - \cot \beta) = d$

Наконец, выразим искомую высоту $H$:

$H = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

Поскольку точка $A$ находится дальше от объекта, угол возвышения из нее будет меньше, чем из точки $B$ ($\alpha < \beta$). Для острых углов функция котангенса убывает, поэтому $\cot \alpha > \cot \beta$, и знаменатель в формуле будет положительным. Если бы точки наблюдения были выбраны наоборот, результат был бы таким же, но для избежания путаницы со знаками можно использовать модуль разности в знаменателе.

Ответ: Чтобы определить высоту предмета с недоступным основанием, необходимо выполнить следующие действия: выбрать на одной прямой с основанием предмета две точки $A$ и $B$; измерить расстояние $d$ между ними; измерить из этих точек углы возвышения $\alpha$ и $\beta$ до вершины предмета; и, наконец, рассчитать высоту $H$ по формуле $H = \frac{d}{|\cot \alpha - \cot \beta|}$.

13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.

Для измерения расстояния до недоступной точки (обозначим ее как точка C) применяется метод триангуляции, который основан на решении треугольника с помощью тригонометрии. Этот метод позволяет вычислить искомое расстояние, не имея к нему прямого доступа. Для этого нужно выполнить следующую последовательность действий.

Шаг 1: Построение базиса. На доступной для перемещения и измерений местности выбирают две удобные точки A и B. Отрезок AB, соединяющий эти точки, называется базисом.

Шаг 2: Измерение базиса. С помощью рулетки, лазерного дальномера или другого подходящего инструмента измеряют длину базиса AB. Обозначим эту длину как $c$.

Шаг 3: Измерение углов. С помощью угломерного инструмента (например, теодолита или гномона) измеряют два угла:
• Находясь в точке A, измеряют угол между направлением на точку B и направлением на недоступную точку C. Обозначим этот угол $\angle CAB = \alpha$.
• Переместившись в точку B, измеряют угол между направлением на точку A и направлением на недоступную точку C. Обозначим этот угол $\angle CBA = \beta$.

Шаг 4: Математические вычисления. В результате измерений мы получаем воображаемый треугольник $\triangle ABC$, в котором известна длина стороны $c = AB$ и два прилежащих к ней угла: $\alpha$ и $\beta$. Искомым расстоянием является длина стороны AC или BC. Для их нахождения используется теорема синусов.
Сначала находим третий угол треугольника, $\gamma = \angle ACB$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta $
Затем, согласно теореме синусов, которая гласит, что $ \frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma} $, мы можем найти искомые расстояния. Например, расстояние от точки A до точки C (длина стороны AC) вычисляется по формуле:
$ AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} $
Аналогично можно найти и расстояние BC:
$ BC = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} $

Проведя эти измерения и вычисления, можно с достаточной точностью определить расстояние до объекта, к которому невозможно подойти вплотную.

Ответ: Для измерения расстояния до недоступной точки C необходимо: 1) выбрать на доступной местности две точки A и B (базис); 2) измерить расстояние между ними ($AB=c$); 3) измерить углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$ с помощью угломерного прибора; 4) используя теорему синусов, вычислить искомое расстояние (например, AC) по формуле $AC = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}$.

14 Объясните, что означают слова «угол между векторами a и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Объясните, что означают слова «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$».

Чтобы найти угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их необходимо привести к общему началу. Для этого выберем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы, равные данным: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ образуют угол, который принято обозначать $\angle AOB$. Величина этого угла, которая по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, и есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Таким образом, фраза «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$» означает, что величина угла, образованного этими векторами, если их отложить из одной точки, составляет $\alpha$ градусов (или радиан). Математически это выражается через скалярное произведение векторов:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов.

Ответ: Это означает, что если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки $O$ так, что $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то величина угла $\angle AOB$ будет равна $\alpha$.

В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Угол между двумя (ненулевыми) векторами равен $0^\circ$ тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены. Это означает, что они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых и указывают в одном и том же направлении. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Если отложить сонаправленные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки $O$, то они расположатся на одном и том же луче. Угол между совпадающими лучами по определению равен $0^\circ$.

В терминах скалярного произведения, если угол $\alpha = 0^\circ$, то $\cos(0^\circ) = 1$, и формула скалярного произведения принимает вид:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
Это равенство является условием сонаправленности двух ненулевых векторов.

Ответ: Угол между векторами считается равным $0^\circ$, если эти векторы сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление.

15 Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

С алгебраической точки зрения, перпендикулярность векторов определяется через их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связано с углом $\theta$ между ними следующей формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов.

Поскольку косинус угла $90^\circ$ равен нулю ($\cos(90^\circ) = 0$), для перпендикулярных векторов их скалярное произведение всегда равно нулю. Таким образом, условие перпендикулярности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (обозначается как $\vec{a} \perp \vec{b}$) эквивалентно равенству их скалярного произведения нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это является необходимым и достаточным условием для двух ненулевых векторов.

Если векторы заданы своими координатами, то это условие можно записать в координатной форме. Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ условие перпендикулярности имеет вид: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ условие выглядит так: $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$.

Важно отметить, что нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается перпендикулярным любому другому вектору, так как его скалярное произведение с любым вектором всегда равно нулю.

Ответ: Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Эквивалентным и наиболее часто используемым на практике условием является равенство их скалярного произведения нулю.

16 Что такое скалярное произведение двух векторов?

Скалярное произведение двух векторов (также называемое внутренним произведением) — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число. Оно может быть определено несколькими эквивалентными способами.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

Здесь:
• $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно.
• $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение считается равным нулю.

Ответ: Геометрически скалярное произведение — это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Алгебраическое определение (в координатах)

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном (прямоугольном) базисе, то скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Для двух векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x, a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Для двух векторов в пространстве $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

В общем случае для n-мерных векторов $\vec{a} = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ и $\vec{b} = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

Ответ: Алгебраически скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат векторов.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
• Коммутативность (перестановочность): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
• Дистрибутивность относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
• Сочетательность с умножением на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$, где $k$ — любое число.
• Скалярный квадрат вектора: Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Это следует из геометрического определения, так как угол между вектором и им самим равен 0, а $\cos(0) = 1$.
• Условие перпендикулярности (ортогональности): Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$. Это следует из того, что $\cos(90^\circ) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: Скалярное произведение коммутативно, дистрибутивно, сочетательно с умножением на скаляр, а его равенство нулю является признаком перпендикулярности векторов.

Геометрический смысл и применение

Знак скалярного произведения позволяет судить об угле между векторами:
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол $\alpha$ между векторами острый ($0 \le \alpha < 90^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол $\alpha$ между векторами тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, то угол $\alpha$ прямой ($ \alpha = 90^\circ $), т.е. векторы ортогональны.
Основные применения скалярного произведения:
1. Нахождение угла между векторами: Из геометрического определения можно выразить косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
2. Нахождение проекции одного вектора на другой: Скалярная проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ вычисляется как:
$пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = |\vec{a}| \cos \alpha$
3. Вычисление работы в физике: Если тело перемещается на вектор $\vec{s}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$, то работа $A$ этой силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

Ответ: Скалярное произведение используется для определения угла между векторами, нахождения проекции одного вектора на другой и вычисления физических величин, например, работы силы.

17 В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$).
По условию, векторы являются ненулевыми, следовательно, их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Произведение длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ всегда будет положительным числом. Таким образом, знак скалярного произведения полностью определяется знаком косинуса угла между векторами, $\cos(\alpha)$.

а) равно 0

Скалярное произведение равно нулю, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Из формулы $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) = 0$, и учитывая, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, следует, что $\cos(\alpha) = 0$.
Это верно, когда угол $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Векторы, угол между которыми составляет $90^\circ$, называются перпендикулярными (или ортогональными).
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, если угол между ними прямой, то есть векторы перпендикулярны.

б) больше 0

Скалярное произведение больше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$. Так как $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $\cos(\alpha) > 0$.
Косинус положителен для острых углов, то есть когда $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов больше 0, если угол между ними острый.

в) меньше 0

Скалярное произведение меньше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$. Так как $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $\cos(\alpha) < 0$.
Косинус отрицателен для тупых углов, то есть когда $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов меньше 0, если угол между ними тупой.

18 Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

Чтобы вывести формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, мы используем два основных инструмента: теорему косинусов для треугольника и алгебраическое определение скалярного произведения.

Пусть в прямоугольной системе координат даны два ненулевых вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2, y_2, z_2\}$.

Отложим эти векторы от начала координат, точки $O(0, 0, 0)$. Пусть конец вектора $\vec{a}$ — это точка $A(x_1, y_1, z_1)$, а конец вектора $\vec{b}$ — это точка $B(x_2, y_2, z_2)$. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Вектор $\vec{AB}$ можно выразить как разность векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$
Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точка B) и начала (точка A):
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$

Применим к треугольнику $OAB$ теорему косинусов. Она гласит, что квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$
Здесь $\alpha$ — это угол между сторонами $OA$ и $OB$, то есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Длины сторон треугольника — это модули соответствующих векторов: $OA = |\vec{a}|$, $OB = |\vec{b}|$, и $AB = |\vec{AB}| = |\vec{b} - \vec{a}|$. Подставим эти выражения в теорему косинусов:
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

По определению, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$
Заменим выражение $ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha) $ в уравнении теоремы косинусов на $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Теперь выразим из этого равенства скалярное произведение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b} - \vec{a}|^2$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b} - \vec{a}|^2)$

Далее выразим квадраты модулей векторов через их координаты. Квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат:
$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$
$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2)$

Подставим эти выражения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \left( (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2) \right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Все члены с квадратами координат взаимно уничтожаются:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 - y_1^2 + 2y_1y_2 - y_2^2 - z_1^2 + 2z_1z_2 - z_2^2 )$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (2x_1x_2 + 2y_1y_2 + 2z_1z_2)$

Сократив на 2, получаем искомую формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Ответ: Для векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ формула, выражающая их скалярное произведение через координаты, имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

19 Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {х₁; у₁} и {х₂; у₂}.

19

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов можно вывести из определения их скалярного произведения.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2\}$.

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними. Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Два вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$. Косинус угла $90^\circ$ равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Следовательно, если ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, так как один из множителей (косинус) равен нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0$

В координатной форме скалярное произведение векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Приравнивая координатное выражение для скалярного произведения к нулю, мы получаем искомое условие перпендикулярности. Два ненулевых вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений их соответствующих координат равна нулю.

Ответ: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

20 Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

Для вывода формулы косинуса угла между двумя ненулевыми векторами воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть в прямоугольной системе координат даны два ненулевых вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2, y_2, z_2\}$. Отложим эти векторы от начала координат $O(0, 0, 0)$. Их концами будут точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол $AOB$ в треугольнике $OAB$.

Согласно теореме косинусов для треугольника $OAB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)$

Теперь выразим квадраты длин сторон этого треугольника через координаты его вершин:

• Длина стороны $OA$ — это модуль (длина) вектора $\vec{a}$: $OA = |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
  Соответственно, $OA^2 = |\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$.
• Длина стороны $OB$ — это модуль вектора $\vec{b}$: $OB = |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$.
  Соответственно, $OB^2 = |\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$.
• Длина стороны $AB$ — это модуль вектора $\vec{AB}$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты, равные разности координат его конца (точки B) и начала (точки A): $\vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$.
  Соответственно, $AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Подставим эти выражения в формулу теоремы косинусов: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2) = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Сократим одинаковые слагаемые ($x_1^2, y_1^2, z_1^2, x_2^2, y_2^2, z_2^2$) в обеих частях уравнения: $-2x_1x_2 - 2y_1y_2 - 2z_1z_2 = -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Разделив обе части на $-2$, получим: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Левая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатной форме. Из этого равенства выразим косинус угла $\theta$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить на их произведение: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Подставив выражения для модулей векторов, получим окончательную формулу.

Ответ:

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ в пространстве выражается формулой: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$ формула упрощается (полагая $z_1=0, z_2=0$): $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

21 Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. В координатной форме для векторов $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ скалярное произведение вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Докажем основные свойства, используя координатную форму.

1. Коммутативность (переместительный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$.

Вычислим их скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Теперь вычислим скалярное произведение в обратном порядке: $\vec{b} \cdot \vec{a} = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$.

Так как для действительных чисел умножение коммутативно ($a_x b_x = b_x a_x$, $a_y b_y = b_y a_y$, $a_z b_z = b_z a_z$), то правые части этих равенств равны. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

2. Дистрибутивность относительно сложения векторов (распределительный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$, $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ и $\vec{c} = \{c_x, c_y, c_z\}$.

Сначала найдем координаты вектора-суммы $\vec{a} + \vec{b} = \{a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z\}$.

Теперь вычислим левую часть равенства:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (a_x + b_x)c_x + (a_y + b_y)c_y + (a_z + b_z)c_z = a_x c_x + b_x c_x + a_y c_y + b_y c_y + a_z c_z + b_z c_z$.

Теперь вычислим правую часть равенства:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z$

$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) + (b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z)$.

Сгруппировав слагаемые, получим: $a_x c_x + b_x c_x + a_y c_y + b_y c_y + a_z c_z + b_z c_z$.

Левая и правая части равны, следовательно, свойство доказано.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

3. Ассоциативность относительно скалярного множителя (сочетательный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого действительного числа $k$ справедливо равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$, $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ и число $k$.

Найдем координаты вектора $k\vec{a} = \{ka_x, ka_y, ka_z\}$.

Вычислим левую часть равенства:

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = (ka_x)b_x + (ka_y)b_y + (ka_z)b_z$.

Используя сочетательный закон умножения для действительных чисел, вынесем $k$ за скобки:

$k(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)$.

Выражение в скобках является скалярным произведением $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Таким образом, мы получили правую часть равенства: $k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

4. Скалярный квадрат вектора

Скалярный квадрат вектора ($\vec{a} \cdot \vec{a}$) равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Доказательство:

Пусть дан вектор $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$.

По определению скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = a_x \cdot a_x + a_y \cdot a_y + a_z \cdot a_z = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Длина (модуль) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Возведем длину вектора в квадрат: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2})^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Следствия из этого свойства:

1. Так как квадрат длины вектора всегда неотрицателен, то $\vec{a} \cdot \vec{a} \ge 0$.

2. Равенство $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$ (то есть $a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 0$) возможно тогда и только тогда, когда $a_x = a_y = a_z = 0$, то есть когда вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Он всегда неотрицателен и равен нулю только для нулевого вектора.

22 Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач.

Скалярное произведение векторов — это мощный инструмент для решения геометрических задач, поскольку оно позволяет перевести геометрические понятия, такие как длина, угол и перпендикулярность, на язык алгебры. Рассмотрим на примере, как с помощью скалярного произведения можно доказать известный геометрический факт.

Задача: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Пусть у нас есть ромб $ABCD$. Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

2. По определению ромба, все его стороны равны. Следовательно, длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

3. Выразим векторы диагоналей ромба через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Диагональ $AC$ является суммой векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм (частный случай — ромб), то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Диагональ $DB$ является разностью векторов: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$.

4. Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, нужно показать, что угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $90^\circ$. Это эквивалентно тому, что их скалярное произведение равно нулю.

5. Вычислим скалярное произведение векторов диагоналей:$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

6. Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки. Это похоже на формулу разности квадратов:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$.

7. По определению скалярного произведения, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля):$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.
Таким образом, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.

8. Вспомним, что для ромба длины смежных сторон равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$, и их разность равна нулю:$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$. Это означает, что векторы диагоналей перпендикулярны, а значит, и сами диагонали ромба взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Пример использования скалярного произведения — доказательство перпендикулярности диагоналей ромба. Скалярное произведение векторов диагоналей, выраженных через векторы смежных сторон ($\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$), равно $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$. Поскольку для ромба $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, скалярное произведение равно нулю, что доказывает перпендикулярность диагоналей.

1146 В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠А = 30°. Найдите высоты BE и AD, a также отрезки АЕ, ЕС, ВС.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB = AC = b$ и углом при вершине $\angle A = 30^{\circ}$, нам необходимо найти высоты $BE$ и $AD$, а также отрезки $AE, EC$ и $BC$.

Высота BE

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$, который образуется при проведении высоты $BE$ к стороне $AC$. В этом треугольнике гипотенуза $AB = b$, а угол $\angle A = 30^{\circ}$. Высота $BE$ является катетом, противолежащим углу $A$. По определению синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BE}{AB}$
$BE = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.
Ответ: $BE = \frac{b}{2}$.

Отрезок AE

В том же прямоугольном треугольнике $ABE$ отрезок $AE$ является катетом, прилежащим к углу $A$. По определению косинуса:
$\cos(\angle A) = \frac{AE}{AB}$
$AE = AB \cdot \cos(30^{\circ}) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $AE = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.

Отрезок EC

Точка $E$ лежит на стороне $AC$. Длина всей стороны $AC$ равна $b$. Отрезок $EC$ можно найти как разность длин $AC$ и $AE$:
$EC = AC - AE = b - \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{2b - b\sqrt{3}}{2} = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$.
Ответ: $EC = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$.

Отрезок BC

Сторону $BC$ (основание треугольника) можно найти с помощью теоремы косинусов для треугольника $ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$BC^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(30^{\circ}) = 2b^2 - 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2b^2 - b^2\sqrt{3} = b^2(2 - \sqrt{3})$.
$BC = \sqrt{b^2(2 - \sqrt{3})} = b\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
Для упрощения радикала $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ можно использовать формулу $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ или преобразовать подкоренное выражение к полному квадрату:
$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $BC = b \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $BC = \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.

Высота AD

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AD$, проведенная к основанию $BC$, является также медианой и биссектрисой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем гипотенуза $AC = b$. Катет $DC$ равен половине основания $BC$, то есть $DC = \frac{BC}{2} = \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.
Высоту $AD$ найдем по теореме Пифагора:
$AD^2 = AC^2 - DC^2 = b^2 - \left( \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \right)^2$
$AD^2 = b^2 - \frac{b^2(6 - 2\sqrt{12} + 2)}{16} = b^2 - \frac{b^2(8 - 4\sqrt{3})}{16} = b^2 - \frac{b^2(2 - \sqrt{3})}{4}$
$AD^2 = \frac{4b^2 - 2b^2 + b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2b^2 + b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}$.
$AD = \sqrt{\frac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}} = \frac{b\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$.
Упростим радикал $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ по аналогии с предыдущим:
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $AD = \frac{b}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{b(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.
Альтернативный способ: так как $AD$ является биссектрисой, $\angle CAD = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^\circ$. Тогда из треугольника $ADC$: $AD = AC \cdot \cos(15^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $AD = \frac{b(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.

1147 Найдите площадь треугольника ABC, если:
а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°;
б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.

а)

Для нахождения площади треугольника ABC нам известна сторона BC и два прилежащих к ней угла, $\angle B$ и $\angle C$. Сначала найдем третий угол, $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 44^\circ - 72^\circ = 64^\circ$.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через сторону и три угла. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$

В нашем случае сторона $a = BC = 4,125$ м, а углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ – это $\angle B$ и $\angle C$. Угол, противолежащий стороне $a=BC$, это $\angle A$. Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{BC^2 \cdot \sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)}{2 \cdot \sin(\angle A)} = \frac{4,125^2 \cdot \sin(44^\circ) \cdot \sin(72^\circ)}{2 \cdot \sin(64^\circ)}$

Произведем вычисления, используя значения синусов:

$\sin(44^\circ) \approx 0,69466$

$\sin(72^\circ) \approx 0,95106$

$\sin(64^\circ) \approx 0,89879$

$S \approx \frac{(4,125)^2 \cdot 0,69466 \cdot 0,95106}{2 \cdot 0,89879} \approx \frac{17,015625 \cdot 0,66067}{1,79758} \approx \frac{11240,4}{1,79758} \approx 6249,75$ м$^2$.

Ответ: $S \approx 6249,75$ м$^2$.

б)

В этом случае нам известна сторона BC и два угла, $\angle A$ и $\angle C$. Сначала найдем третий угол, $\angle B$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 32^\circ - 120^\circ = 28^\circ$.

Как и в предыдущем пункте, используем формулу для площади треугольника через сторону и три угла:

$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$

Здесь $a = BC = 4100$ м. Подставляем значения:

$S = \frac{BC^2 \cdot \sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)}{2 \cdot \sin(\angle A)} = \frac{4100^2 \cdot \sin(28^\circ) \cdot \sin(120^\circ)}{2 \cdot \sin(32^\circ)}$

Произведем вычисления, используя значения синусов:

$\sin(28^\circ) \approx 0,46947$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,86603$

$\sin(32^\circ) \approx 0,52992$

$S \approx \frac{4100^2 \cdot 0,46947 \cdot 0,86603}{2 \cdot 0,52992} \approx \frac{16810000 \cdot 0,40656}{1,05984} \approx \frac{6834316}{1,05984} \approx 6448361$ м$^2$.

Поскольку длина стороны дана целым числом, результат также округлим до целого.

Ответ: $S \approx 6448361$ м$^2$.

1148 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Поскольку вертикальные углы равны, то $\angle COD = \angle AOB = \alpha$ и $\angle DOA = \angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Также учтём тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Вычислим площади каждого из четырёх треугольников, на которые диагонали делят четырёхугольник:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим полученные площади: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha ((AO \cdot BO + BO \cdot CO) + (CO \cdot DO + DO \cdot AO))$ $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO(AO + CO) + DO(CO + AO))$

Заметим, что $AO + CO = AC = d_1$. Подставим это в выражение: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO \cdot AC + DO \cdot AC)$

Вынесем $AC$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Заметим, что $BO + DO = BD = d_2$. Подставим и получим окончательную формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь $S$ выпуклого четырёхугольника с диагоналями $d_1$ и $d_2$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.