Номер 11, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 11, страница 291.
№11 (с. 291)
Условие. №11 (с. 291)
скриншот условия

11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.
Решение 2. №11 (с. 291)

Решение 4. №11 (с. 291)

Решение 11. №11 (с. 291)
Слова «решение треугольника» означают нахождение всех его неизвестных элементов (трёх сторон и трёх углов) по известным элементам, которые однозначно его определяют. Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны ($a, b, c$) и три противолежащих им угла ($\alpha, \beta, \gamma$). Решение треугольника становится возможным, когда известны три из этих шести элементов, при условии, что хотя бы один из них является стороной.
Существует три основные задачи на решение произвольного треугольника:
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними (СУС)
Дано: Две стороны, например $a$ и $b$, и угол $\gamma$ между ними.
Найти: Третью сторону $c$ и два других угла $\alpha$ и $\beta$.
Объяснение решения:
1. Третья сторона $c$ находится с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$. Из этого уравнения вычисляется значение $c$.
2. После нахождения стороны $c$ можно найти второй угол, например $\alpha$, снова используя теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.
3. Третий угол $\beta$ находится из свойства о сумме углов треугольника: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.
Ответ: Найдены сторона $c$ и углы $\alpha, \beta$.
Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ)
Дано: Сторона, например $c$, и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$.
Найти: Третий угол $\gamma$ и две другие стороны $a$ и $b$.
Объяснение решения:
1. Третий угол $\gamma$ сразу находится из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
2. Две неизвестные стороны $a$ и $b$ находятся с помощью теоремы синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$.
3. Из пропорции находим стороны $a$ и $b$: $a = \frac{c \sin\alpha}{\sin\gamma}$ и $b = \frac{c \sin\beta}{\sin\gamma}$.
Ответ: Найдены угол $\gamma$ и стороны $a, b$.
Решение треугольника по трем сторонам (ССС)
Дано: Три стороны $a, b, c$.
Найти: Три угла $\alpha, \beta, \gamma$.
Объяснение решения:
1. Сначала необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$). Если условие не выполняется, то решения не существует.
2. Если треугольник существует, находим любой из углов, например $\alpha$, с помощью теоремы косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.
3. Аналогично находим второй угол, например $\beta$: $\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
4. Третий угол $\gamma$ вычисляем из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
Ответ: Найдены углы $\alpha, \beta, \gamma$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 291 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №11 (с. 291), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.