Номер 11, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 11, страница 291.

Условие.

11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Слова «решение треугольника» означают нахождение всех его неизвестных элементов (трёх сторон и трёх углов) по известным элементам, которые однозначно его определяют. Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны ($a, b, c$) и три противолежащих им угла ($\alpha, \beta, \gamma$). Решение треугольника становится возможным, когда известны три из этих шести элементов, при условии, что хотя бы один из них является стороной.

Существует три основные задачи на решение произвольного треугольника:

1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними (СУС)

   Дано: Две стороны, например $a$ и $b$, и угол $\gamma$ между ними.

   Найти: Третью сторону $c$ и два других угла $\alpha$ и $\beta$.

   Объяснение решения:

   1. Третья сторона $c$ находится с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$. Из этого уравнения вычисляется значение $c$.

   2. После нахождения стороны $c$ можно найти второй угол, например $\alpha$, снова используя теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.

   3. Третий угол $\beta$ находится из свойства о сумме углов треугольника: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

   Ответ: Найдены сторона $c$ и углы $\alpha, \beta$.

2. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ)

   Дано: Сторона, например $c$, и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$.

   Найти: Третий угол $\gamma$ и две другие стороны $a$ и $b$.

   Объяснение решения:

   1. Третий угол $\gamma$ сразу находится из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

   2. Две неизвестные стороны $a$ и $b$ находятся с помощью теоремы синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$.

   3. Из пропорции находим стороны $a$ и $b$: $a = \frac{c \sin\alpha}{\sin\gamma}$ и $b = \frac{c \sin\beta}{\sin\gamma}$.

   Ответ: Найдены угол $\gamma$ и стороны $a, b$.

3. Решение треугольника по трем сторонам (ССС)

   Дано: Три стороны $a, b, c$.

   Найти: Три угла $\alpha, \beta, \gamma$.

   Объяснение решения:

   1. Сначала необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$). Если условие не выполняется, то решения не существует.

   2. Если треугольник существует, находим любой из углов, например $\alpha$, с помощью теоремы косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$. Отсюда выражаем косинус угла: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. По значению косинуса находим угол $\alpha$.

   3. Аналогично находим второй угол, например $\beta$: $\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.

   4. Третий угол $\gamma$ вычисляем из свойства о сумме углов треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

   Ответ: Найдены углы $\alpha, \beta, \gamma$.