Номер 18, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 18, страница 291.

Условие.

18 Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Чтобы вывести формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, мы используем два основных инструмента: теорему косинусов для треугольника и алгебраическое определение скалярного произведения.

Пусть в прямоугольной системе координат даны два ненулевых вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2, y_2, z_2\}$.

Отложим эти векторы от начала координат, точки $O(0, 0, 0)$. Пусть конец вектора $\vec{a}$ — это точка $A(x_1, y_1, z_1)$, а конец вектора $\vec{b}$ — это точка $B(x_2, y_2, z_2)$. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Вектор $\vec{AB}$ можно выразить как разность векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$
Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точка B) и начала (точка A):
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$

Применим к треугольнику $OAB$ теорему косинусов. Она гласит, что квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$
Здесь $\alpha$ — это угол между сторонами $OA$ и $OB$, то есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Длины сторон треугольника — это модули соответствующих векторов: $OA = |\vec{a}|$, $OB = |\vec{b}|$, и $AB = |\vec{AB}| = |\vec{b} - \vec{a}|$. Подставим эти выражения в теорему косинусов:
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

По определению, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$
Заменим выражение $ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha) $ в уравнении теоремы косинусов на $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Теперь выразим из этого равенства скалярное произведение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b} - \vec{a}|^2$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b} - \vec{a}|^2)$

Далее выразим квадраты модулей векторов через их координаты. Квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат:
$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$
$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$
$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2)$

Подставим эти выражения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \left( (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2) \right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Все члены с квадратами координат взаимно уничтожаются:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 - y_1^2 + 2y_1y_2 - y_2^2 - z_1^2 + 2z_1z_2 - z_2^2 )$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (2x_1x_2 + 2y_1y_2 + 2z_1z_2)$

Сократив на 2, получаем искомую формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Ответ: Для векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ формула, выражающая их скалярное произведение через координаты, имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.