Номер 1148, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1148, страница 291.

Условие.

1148 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Поскольку вертикальные углы равны, то $\angle COD = \angle AOB = \alpha$ и $\angle DOA = \angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Также учтём тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Вычислим площади каждого из четырёх треугольников, на которые диагонали делят четырёхугольник:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим полученные площади: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha ((AO \cdot BO + BO \cdot CO) + (CO \cdot DO + DO \cdot AO))$ $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO(AO + CO) + DO(CO + AO))$

Заметим, что $AO + CO = AC = d_1$. Подставим это в выражение: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO \cdot AC + DO \cdot AC)$

Вынесем $AC$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Заметим, что $BO + DO = BD = d_2$. Подставим и получим окончательную формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь $S$ выпуклого четырёхугольника с диагоналями $d_1$ и $d_2$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.