Номер 1148, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1148, страница 291.

1148 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$. Поскольку вертикальные углы равны, то $\angle COD = \angle AOB = \alpha$ и $\angle DOA = \angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Также учтём тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Вычислим площади каждого из четырёх треугольников, на которые диагонали делят четырёхугольник:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим полученные площади: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha ((AO \cdot BO + BO \cdot CO) + (CO \cdot DO + DO \cdot AO))$ $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO(AO + CO) + DO(CO + AO))$

Заметим, что $AO + CO = AC = d_1$. Подставим это в выражение: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (BO \cdot AC + DO \cdot AC)$

Вынесем $AC$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Заметим, что $BO + DO = BD = d_2$. Подставим и получим окончательную формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь $S$ выпуклого четырёхугольника с диагоналями $d_1$ и $d_2$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.