Номер 21, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 21, страница 291.

21 Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. В координатной форме для векторов $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ скалярное произведение вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Докажем основные свойства, используя координатную форму.

1. Коммутативность (переместительный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$.

Вычислим их скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Теперь вычислим скалярное произведение в обратном порядке: $\vec{b} \cdot \vec{a} = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$.

Так как для действительных чисел умножение коммутативно ($a_x b_x = b_x a_x$, $a_y b_y = b_y a_y$, $a_z b_z = b_z a_z$), то правые части этих равенств равны. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

2. Дистрибутивность относительно сложения векторов (распределительный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$, $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ и $\vec{c} = \{c_x, c_y, c_z\}$.

Сначала найдем координаты вектора-суммы $\vec{a} + \vec{b} = \{a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z\}$.

Теперь вычислим левую часть равенства:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (a_x + b_x)c_x + (a_y + b_y)c_y + (a_z + b_z)c_z = a_x c_x + b_x c_x + a_y c_y + b_y c_y + a_z c_z + b_z c_z$.

Теперь вычислим правую часть равенства:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z$

$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) + (b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z)$.

Сгруппировав слагаемые, получим: $a_x c_x + b_x c_x + a_y c_y + b_y c_y + a_z c_z + b_z c_z$.

Левая и правая части равны, следовательно, свойство доказано.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

3. Ассоциативность относительно скалярного множителя (сочетательный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого действительного числа $k$ справедливо равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$, $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$ и число $k$.

Найдем координаты вектора $k\vec{a} = \{ka_x, ka_y, ka_z\}$.

Вычислим левую часть равенства:

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = (ka_x)b_x + (ka_y)b_y + (ka_z)b_z$.

Используя сочетательный закон умножения для действительных чисел, вынесем $k$ за скобки:

$k(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)$.

Выражение в скобках является скалярным произведением $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Таким образом, мы получили правую часть равенства: $k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

4. Скалярный квадрат вектора

Скалярный квадрат вектора ($\vec{a} \cdot \vec{a}$) равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Доказательство:

Пусть дан вектор $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$.

По определению скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = a_x \cdot a_x + a_y \cdot a_y + a_z \cdot a_z = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Длина (модуль) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Возведем длину вектора в квадрат: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2})^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Следствия из этого свойства:

1. Так как квадрат длины вектора всегда неотрицателен, то $\vec{a} \cdot \vec{a} \ge 0$.

2. Равенство $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$ (то есть $a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 0$) возможно тогда и только тогда, когда $a_x = a_y = a_z = 0$, то есть когда вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Он всегда неотрицателен и равен нулю только для нулевого вектора.