Номер 1150, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1150, страница 292.

1150 Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если:
а) AB = 5 см, AC = 7,5 см, ∠А = 135°;
б) AB = 22 дм, ВС = 3 дм, ∠B = 45°;
в) AC = 0,6 м, BC = 34 дм, ∠C = 150°.

Решение треугольника означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов. Для этого будем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, для стороны $a$, противолежащей углу $A$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

Из этой теоремы также можно выразить косинус угла: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

а) Дано: $AB = 5$ см, $AC = 7,5$ см, $\angle A = 135^\circ$.

Обозначим стороны: $c = AB = 5$ см, $b = AC = 7,5$ см. Найти нужно сторону $a = BC$ и углы $\angle B$ и $\angle C$.

1. Находим сторону BC (a) по теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$BC^2 = (7,5)^2 + 5^2 - 2 \cdot 7,5 \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ$

Так как $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$BC^2 = 56,25 + 25 - 75 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 81,25 + 37,5\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{81,25 + 37,5\sqrt{2}} \approx \sqrt{81,25 + 37,5 \cdot 1,414} = \sqrt{134,275} \approx 11,59$ см.

2. Находим угол B по теореме косинусов:

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$\cos B = \frac{5^2 + (81,25 + 37,5\sqrt{2}) - (7,5)^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{81,25 + 37,5\sqrt{2}}} = \frac{25 + 81,25 + 37,5\sqrt{2} - 56,25}{10\sqrt{81,25 + 37,5\sqrt{2}}} = \frac{50 + 37,5\sqrt{2}}{10\sqrt{81,25 + 37,5\sqrt{2}}}$

$\cos B \approx \frac{50 + 53,03}{10 \cdot 11,59} \approx \frac{103,03}{115,9} \approx 0,889$

$\angle B = \arccos(0,889) \approx 27,2^\circ$.

3. Находим угол C, используя свойство суммы углов треугольника:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 135^\circ - 27,2^\circ = 17,8^\circ$.

Ответ: $BC \approx 11,59$ см, $\angle B \approx 27,2^\circ$, $\angle C \approx 17,8^\circ$.

б) Дано: $AB = 2\sqrt{2}$ дм, $BC = 3$ дм, $\angle B = 45^\circ$.

Обозначим стороны: $c = AB = 2\sqrt{2}$ дм, $a = BC = 3$ дм. Найти нужно сторону $b = AC$ и углы $\angle A$ и $\angle C$.

1. Находим сторону AC (b) по теореме косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$AC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$

$AC^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 - 12 = 5$

$AC = \sqrt{5}$ дм.

2. Находим угол A по теореме косинусов:

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2cb}$

$\cos A = \frac{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - 3^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{8 + 5 - 9}{4\sqrt{10}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\angle A = \arccos(\frac{\sqrt{10}}{10}) \approx 71,6^\circ$.

3. Находим угол C по теореме косинусов:

$\cos C = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{3^2 + (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{9 + 5 - 8}{6\sqrt{5}} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\angle C = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5}) \approx 63,4^\circ$.

Ответ: $AC = \sqrt{5}$ дм, $\angle A = \arccos(\frac{\sqrt{10}}{10}) \approx 71,6^\circ$, $\angle C = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5}) \approx 63,4^\circ$.

в) Дано: $AC = 0,6$ м, $BC = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм, $\angle C = 150^\circ$.

Сначала приведем длины сторон к одной единице измерения. Пусть это будут дециметры (дм): $AC = 0,6$ м = 6 дм.

Обозначим стороны: $b = AC = 6$ дм, $a = BC = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм. Найти нужно сторону $c = AB$ и углы $\angle A$ и $\angle B$.

1. Находим сторону AB (c) по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$AB^2 = (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + 6^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6 \cdot \cos 150^\circ$

Так как $\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AB^2 = \frac{3}{16} + 36 - 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{16} + 36 + \frac{9}{2} = \frac{3 + 576 + 72}{16} = \frac{651}{16}$

$AB = \sqrt{\frac{651}{16}} = \frac{\sqrt{651}}{4}$ дм.

2. Находим угол B по теореме косинусов:

$\cos B = \frac{BC^2 + AB^2 - AC^2}{2 \cdot BC \cdot AB} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{\sqrt{651}}{4})^2 - 6^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{651}}{4}} = \frac{\frac{3}{16} + \frac{651}{16} - 36}{\frac{2\sqrt{1953}}{16}} = \frac{\frac{654 - 576}{16}}{\frac{2\sqrt{9 \cdot 217}}{16}} = \frac{\frac{78}{16}}{\frac{6\sqrt{217}}{16}} = \frac{78}{6\sqrt{217}} = \frac{13}{\sqrt{217}} = \frac{13\sqrt{217}}{217}$

$\angle B = \arccos(\frac{13\sqrt{217}}{217}) \approx 28,1^\circ$.

3. Находим угол A, используя свойство суммы углов треугольника:

$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B \approx 180^\circ - 150^\circ - 28,1^\circ = 1,9^\circ$.

Ответ: $AB = \frac{\sqrt{651}}{4}$ дм, $\angle A \approx 1,9^\circ$, $\angle B = \arccos(\frac{13\sqrt{217}}{217}) \approx 28,1^\circ$.