Номер 1156, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1156, страница 292.

1156 Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b = p − 3q, если | p | = 22, | q | = 3 и pq︿ = 45°.

Пусть параллелограмм построен на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Тогда его диагонали являются векторами $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$. Длины диагоналей равны модулям этих векторов: $|\vec{d_1}|$ и $|\vec{d_2}|$.

По условию задачи даны векторы:

$\vec{a} = 5\vec{p} + 2\vec{q}$

$\vec{b} = \vec{p} - 3\vec{q}$

А также даны модули векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ и угол между ними:

$|\vec{p}| = 2\sqrt{2}$, $|\vec{q}| = 3$, $(\widehat{\vec{p}, \vec{q}}) = 45^\circ$.

Сначала найдем векторы диагоналей $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$:

$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (5\vec{p} + 2\vec{q}) + (\vec{p} - 3\vec{q}) = 6\vec{p} - \vec{q}$

$\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (5\vec{p} + 2\vec{q}) - (\vec{p} - 3\vec{q}) = 4\vec{p} + 5\vec{q}$

Для нахождения длин диагоналей будем использовать свойство скалярного произведения векторов: $|\vec{v}|^2 = \vec{v}^2$.

Предварительно вычислим скалярные произведения векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$|\vec{p}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$|\vec{q}|^2 = 3^2 = 9$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos(\widehat{\vec{p}, \vec{q}}) = 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$

Теперь найдем длину первой диагонали $|\vec{d_1}|$:

$|\vec{d_1}|^2 = |6\vec{p} - \vec{q}|^2 = (6\vec{p} - \vec{q})^2 = 36\vec{p}^2 - 12(\vec{p} \cdot \vec{q}) + \vec{q}^2$

Подставим вычисленные значения:

$|\vec{d_1}|^2 = 36 \cdot 8 - 12 \cdot 6 + 9 = 288 - 72 + 9 = 216 + 9 = 225$

$|\vec{d_1}| = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем длину второй диагонали $|\vec{d_2}|$:

$|\vec{d_2}|^2 = |4\vec{p} + 5\vec{q}|^2 = (4\vec{p} + 5\vec{q})^2 = 16\vec{p}^2 + 40(\vec{p} \cdot \vec{q}) + 25\vec{q}^2$

Подставим вычисленные значения:

$|\vec{d_2}|^2 = 16 \cdot 8 + 40 \cdot 6 + 25 \cdot 9 = 128 + 240 + 225 = 593$

$|\vec{d_2}| = \sqrt{593}$

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны 15 и $\sqrt{593}$.

Ответ: 15 и $\sqrt{593}$.