Номер 1162, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1162, страница 293.

1162 Точка M лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что

(1 + k)² AM² = k²b² + 2bck cos A + c²,

где b = AC, c = AB.

Решение

По условию задачи точка M лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC, поэтому ВМ = kMC или BM = k (BC − BM). Следовательно,

BM = k1 + k + BC = k1 + k + (AC − AB).

По правилу треугольника сложения векторов AM = AB + ВМ, или AM = AB + k1 + k (AC − AB) = = k1 + k AB + k1 + k AC. Таким образом,

(1 + k) AM = AB + kAC.

Отсюда получаем

(1 + k)² (AM ⋅ AM) = = (AB + kAC) (AB + kAC) = = AB ⋅ AB + 2kAB ⋅ AC + k²AC ⋅ AC.

Так как

AM ⋅ AM = AM², AB ⋅ AB = c², AC ⋅ AC = b², AB ⋅ AC = bc cos A,

то полученная формула совпадает с искомой формулой.

Решение
По условию задачи точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$ и $BM = kMC$. Поскольку точка $M$ находится на отрезке $BC$, векторы $\vec{BM}$ и $\vec{MC}$ сонаправлены, а их длины соотносятся как $k:1$. Следовательно, мы можем записать векторное равенство: $\vec{BM} = k\vec{MC}$.

Выразим вектор $\vec{MC}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BM}$: $\vec{MC} = \vec{BC} - \vec{BM}$. Подставим это выражение в наше равенство:
$\vec{BM} = k(\vec{BC} - \vec{BM})$
Раскроем скобки и выразим $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = k\vec{BC} - k\vec{BM}$
$\vec{BM} + k\vec{BM} = k\vec{BC}$
$(1+k)\vec{BM} = k\vec{BC}$
$\vec{BM} = \frac{k}{1+k}\vec{BC}$.

Теперь представим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в вершине $A$: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = \frac{k}{1+k}(\vec{AC} - \vec{AB})$.

По правилу сложения векторов для треугольника $ABM$ имеем: $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$.
Заменим $\vec{BM}$ на полученное выражение:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k}(\vec{AC} - \vec{AB})$
Приведем подобные слагаемые:
$\vec{AM} = (1 - \frac{k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = (\frac{1+k-k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = \frac{1}{1+k}\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$.

Умножим обе части равенства на $(1+k)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$(1+k)\vec{AM} = \vec{AB} + k\vec{AC}$.

Чтобы перейти от векторов к длинам, возведем обе части этого равенства в скалярный квадрат (то есть умножим скалярно каждую часть на саму себя):
$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} + k\vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + k\vec{AC})$.
Раскроем скалярное произведение в правой части по свойству дистрибутивности:
$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} \cdot \vec{AB}) + 2k(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + k^2(\vec{AC} \cdot \vec{AC})$.

Используем определения и обозначения из условия ($b=AC, c=AB$):
1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 = v^2$.
2. Скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно $|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол между ними.
Таким образом:
$\vec{AM} \cdot \vec{AM} = AM^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2 = c^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = AC^2 = b^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = c \cdot b \cdot \cos A$.

Подставляем эти выражения в наше равенство:
$(1+k)^2 AM^2 = c^2 + 2k(cb \cos A) + k^2b^2$.
Перегруппируем слагаемые в правой части для соответствия искомой формуле:
$(1+k)^2 AM^2 = k^2b^2 + 2bck \cos A + c^2$.
Это и есть формула, которую требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.