Номер 1163, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1163, страница 293.

Условие.

1163 Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (−1; 2), B (1; −2), C (2; 0), D (1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Докажите, что ABCD — трапеция

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией, необходимо показать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна. Параллельность двух отрезков можно определить по их угловым коэффициентам (для невертикальных прямых) или по коллинеарности соответствующих векторов. Воспользуемся вторым методом.

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(-1; 2)$, $B(1; -2)$, $C(2; 0)$, $D(1; 6)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$: $(1 - (-1); -2 - 2) = (2; -4)$.
Координаты вектора $\vec{BC}$: $(2 - 1; 0 - (-2)) = (1; 2)$.
Координаты вектора $\vec{CD}$: $(1 - 2; 6 - 0) = (-1; 6)$.
Координаты вектора $\vec{DA}$: $(-1 - 1; 2 - 6) = (-2; -4)$.

Теперь проверим векторы на коллинеарность. Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $x_1 = kx_2$ и $y_1 = ky_2$.

Сравним векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$.
$\vec{BC} = (1; 2)$ и $\vec{DA} = (-2; -4)$.
Найдем отношение их координат: $\frac{-2}{1} = -2$ и $\frac{-4}{2} = -2$.Поскольку отношения координат равны, векторы коллинеарны, причем $\vec{DA} = -2 \cdot \vec{BC}$. Это означает, что стороны $BC$ и $DA$ параллельны ($BC \parallel DA$).

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
$\vec{AB} = (2; -4)$ и $\vec{CD} = (-1; 6)$.
Найдем отношение их координат: $\frac{2}{-1} = -2$ и $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.Поскольку отношения координат не равны ($-2 \neq -\frac{2}{3}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а значит, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Так как у четырехугольника $ABCD$ одна пара сторон параллельна ($BC \parallel DA$), а другая не параллельна, то по определению $ABCD$ является трапецией.

Ответ: Утверждение, что ABCD — трапеция, доказано.

найдите её площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.Основаниями трапеции $ABCD$ являются параллельные стороны $BC$ и $DA$. Найдем их длины как модули соответствующих векторов:

$a = BC = |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$b = DA = |\vec{DA}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Высота трапеции $h$ — это перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими основания. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $D(1; 6)$ и $A(-1; 2)$.Угловой коэффициент прямой $DA$: $k = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{2 - 6}{-1 - 1} = \frac{-4}{-2} = 2$.Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $A(-1; 2)$:$y - y_A = k(x - x_A)$$y - 2 = 2(x - (-1))$$y - 2 = 2x + 2$$2x - y + 4 = 0$

Высота $h$ равна расстоянию от любой точки на основании $BC$ (например, от точки $C(2; 0)$) до прямой $DA$, заданной уравнением $2x - y + 4 = 0$.Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$h = \frac{|2(2) - (0) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{4+1}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{BC+DA}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$.

Ответ: 12.