Номер 1165, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1165, страница 293.

Условие.

1165 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками ромба.

Дано:
ABCD — параллелограмм.
AC и BD — его диагонали.
Точка O — точка пересечения диагоналей ($AC \cap BD = O$).
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Доказать:
ABCD — ромб.

Доказательство:

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Нам нужно доказать, что у данного параллелограмма ABCD все стороны равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$, которые образованы пересечением диагоналей.

1. По свойству диагоналей любого параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок $AO$ равен отрезку $OC$: $AO = OC$.

2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

3. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, а это значит, что угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.

Из этих трех пунктов следует, что треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В данном случае сторона $AB$ треугольника $\triangle AOB$ соответствует стороне $BC$ треугольника $\triangle COB$. Значит, $AB = BC$.

Мы доказали, что две смежные стороны параллелограмма равны. В параллелограмме противолежащие стороны также равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.

Сопоставив все равенства, получаем: $AB = BC = CD = AD$.

Так как ABCD — это параллелограмм, у которого все стороны равны, то по определению он является ромбом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом, так как из условий следует равенство смежных сторон (через равенство прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм), а в параллелограмме равенство смежных сторон означает равенство всех четырех сторон.