Номер 1165, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1165, страница 293.

1165 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками ромба.

Дано:
ABCD — параллелограмм.
AC и BD — его диагонали.
Точка O — точка пересечения диагоналей ($AC \cap BD = O$).
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Доказать:
ABCD — ромб.

Доказательство:

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Нам нужно доказать, что у данного параллелограмма ABCD все стороны равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$, которые образованы пересечением диагоналей.

1. По свойству диагоналей любого параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок $AO$ равен отрезку $OC$: $AO = OC$.

2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

3. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, а это значит, что угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.

Из этих трех пунктов следует, что треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В данном случае сторона $AB$ треугольника $\triangle AOB$ соответствует стороне $BC$ треугольника $\triangle COB$. Значит, $AB = BC$.

Мы доказали, что две смежные стороны параллелограмма равны. В параллелограмме противолежащие стороны также равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.

Сопоставив все равенства, получаем: $AB = BC = CD = AD$.

Так как ABCD — это параллелограмм, у которого все стороны равны, то по определению он является ромбом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом, так как из условий следует равенство смежных сторон (через равенство прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм), а в параллелограмме равенство смежных сторон означает равенство всех четырех сторон.