Номер 1172, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1172, страница 300.

1172 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?

Для определения количества сторон $n$ правильного многоугольника, зная величину его внутреннего угла $?$, можно использовать одну из двух связанных формул.

1. Формула для внутреннего угла правильного n-угольника:$? = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

2. Формула через внешний угол. Внешний угол $?$ правильного многоугольника равен $? = 180^\circ - ?$. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Так как у правильного n-угольника все $n$ внешних углов равны, то $n \cdot ? = 360^\circ$.

Из второго подхода легче выразить количество сторон $n$:$n = \frac{360^\circ}{?} = \frac{360^\circ}{180^\circ - ?}$

Воспользуемся этой формулой для решения задачи для каждого из заданных углов.

а) Если каждый угол равен $60^\circ$, то $? = 60^\circ$.

Количество сторон $n$ равно:$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 60^\circ} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$

Ответ: 3 стороны.

б) Если каждый угол равен $90^\circ$, то $? = 90^\circ$.

Количество сторон $n$ равно:$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 90^\circ} = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$

Ответ: 4 стороны.

в) Если каждый угол равен $135^\circ$, то $? = 135^\circ$.

Количество сторон $n$ равно:$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 135^\circ} = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$

Ответ: 8 сторон.

г) Если каждый угол равен $150^\circ$, то $? = 150^\circ$.

Количество сторон $n$ равно:$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 150^\circ} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Ответ: 12 сторон.