Номер 1171, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1171, страница 300.

1171 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, является постоянной величиной. Докажем это для правильного $n$-угольника.

Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине всегда равна $180^\circ$.

Способ 1: Через сумму внутренних углов

Сумма всех внутренних углов правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:$S_{внутр} = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Если мы просуммируем все внутренние и все внешние углы (взятые по одному при каждой из $n$ вершин), мы получим $n$ пар углов, каждая из которых равна $180^\circ$. Таким образом, общая сумма всех углов равна $n \cdot 180^\circ$.

Сумма внешних углов $S_{внешн}$ будет равна разности между общей суммой и суммой внутренних углов:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - S_{внутр}$

Подставим формулу для суммы внутренних углов:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ$

Вынесем $180^\circ$ за скобки:

$S_{внешн} = (n - (n - 2)) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2: Через величину одного внешнего угла

Так как $n$-угольник правильный, все его внутренние углы равны, и все его внешние углы также равны между собой. Найдем величину одного внешнего угла.

Величина одного внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника равна:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Тогда величина смежного с ним внешнего угла $\beta$ равна:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Приведем к общему знаменателю:

$\beta = \frac{180^\circ \cdot n - (n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n - (n-2))}{n} = \frac{180^\circ \cdot 2}{n} = \frac{360^\circ}{n}$

Поскольку у правильного $n$-угольника $n$ вершин, и при каждой вершине мы берем по одному внешнему углу, то общая сумма внешних углов $S_{внешн}$ равна:

$S_{внешн} = n \cdot \beta = n \cdot \frac{360^\circ}{n} = 360^\circ$

Оба способа показывают, что сумма внешних углов правильного $n$-угольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа сторон $n$ и всегда равна $360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.