Номер 1171, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников - номер 1171, страница 300.

Условие.

1171 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, является постоянной величиной. Докажем это для правильного $n$-угольника.

Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине всегда равна $180^\circ$.

Способ 1: Через сумму внутренних углов

Сумма всех внутренних углов правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:$S_{внутр} = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Если мы просуммируем все внутренние и все внешние углы (взятые по одному при каждой из $n$ вершин), мы получим $n$ пар углов, каждая из которых равна $180^\circ$. Таким образом, общая сумма всех углов равна $n \cdot 180^\circ$.

Сумма внешних углов $S_{внешн}$ будет равна разности между общей суммой и суммой внутренних углов:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - S_{внутр}$

Подставим формулу для суммы внутренних углов:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ$

Вынесем $180^\circ$ за скобки:

$S_{внешн} = (n - (n - 2)) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2: Через величину одного внешнего угла

Так как $n$-угольник правильный, все его внутренние углы равны, и все его внешние углы также равны между собой. Найдем величину одного внешнего угла.

Величина одного внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника равна:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Тогда величина смежного с ним внешнего угла $\beta$ равна:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Приведем к общему знаменателю:

$\beta = \frac{180^\circ \cdot n - (n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n - (n-2))}{n} = \frac{180^\circ \cdot 2}{n} = \frac{360^\circ}{n}$

Поскольку у правильного $n$-угольника $n$ вершин, и при каждой вершине мы берем по одному внешнему углу, то общая сумма внешних углов $S_{внешн}$ равна:

$S_{внешн} = n \cdot \beta = n \cdot \frac{360^\circ}{n} = 360^\circ$

Оба способа показывают, что сумма внешних углов правильного $n$-угольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа сторон $n$ и всегда равна $360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.