Номер 1166, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1166, страница 293.

1166 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Пусть даны два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим их стороны как $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин соответствующих сторон:

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c}$

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

а) описанных около треугольников

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$, а $R_1$ — радиус окружности, описанной около $\triangle A_1B_1C_1$. Необходимо доказать, что отношение радиусов $\frac{R_1}{R}$ равно коэффициенту подобия $k$.

Согласно обобщенной теореме синусов, радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{a}{2\sin A}$

Применим эту формулу для обоих треугольников:

Для $\triangle ABC$: $R = \frac{a}{2\sin A}$

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $R_1 = \frac{a_1}{2\sin A_1}$

Теперь найдем отношение радиусов $R_1$ и $R$:

$\frac{R_1}{R} = \frac{\frac{a_1}{2\sin A_1}}{\frac{a}{2\sin A}}$

Поскольку треугольники подобны, $\angle A = \angle A_1$, и, следовательно, $\sin A = \sin A_1$. Значит, можно сократить $2\sin A$ и $2\sin A_1$ в числителе и знаменателе:

$\frac{R_1}{R} = \frac{a_1}{a}$

По определению коэффициента подобия, $\frac{a_1}{a} = k$. Таким образом, мы получаем:

$\frac{R_1}{R} = k$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их описанных окружностей.

б) вписанных в эти треугольники

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ABC$, а $r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle A_1B_1C_1$. Необходимо доказать, что отношение радиусов $\frac{r_1}{r}$ равно коэффициенту подобия $k$.

Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Применим эту формулу для обоих треугольников:

Для $\triangle ABC$: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — его площадь, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $r_1 = \frac{S_1}{p_1}$, где $S_1$ — его площадь, а $p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2}$ — полупериметр.

Найдем отношение радиусов $r_1$ и $r$:

$\frac{r_1}{r} = \frac{\frac{S_1}{p_1}}{\frac{S}{p}} = \frac{S_1}{S} \cdot \frac{p}{p_1}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S} = k^2$.

Теперь найдем отношение полупериметров. Используя $a_1=ka$, $b_1=kb$, $c_1=kc$, получим:

$p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2} = \frac{ka+kb+kc}{2} = \frac{k(a+b+c)}{2} = k \cdot p$

Следовательно, отношение полупериметров $\frac{p_1}{p} = k$.

Подставим найденные отношения площадей и полупериметров в выражение для отношения радиусов:

$\frac{r_1}{r} = \frac{S_1}{S} \cdot \frac{p}{p_1} = k^2 \cdot \frac{p}{kp} = k^2 \cdot \frac{1}{k} = k$

В итоге получаем $\frac{r_1}{r} = k$.

Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их вписанных окружностей.