Номер 1161, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1161, страница 292.

Условие.

1161 Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = а. Найдите площадь данного ромба.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть $s$ — сторона ромба $MNPQ$. Тогда $MN = NP = PQ = QM = s$.Площадь ромба можно найти по формуле $S = s^2 \sin(\angle NMQ)$. По условию $\angle NMQ = 4\alpha$, значит $S = s^2 \sin(4\alpha)$. Наша задача — найти сторону ромба $s$.

Рассмотрим треугольник $MPQ$. Он образован двумя сторонами ромба $MQ$, $PQ$ и диагональю $MP$. Так как $MQ = PQ = s$, то треугольник $MPQ$ является равнобедренным.Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $MP$ делит угол $\angle NMQ$ пополам.$\angle PMQ = \frac{1}{2} \angle NMQ = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha$.

По условию, отрезок $MF$ является биссектрисой треугольника $MPQ$. Так как отрезок выходит из вершины $M$ и точка $F$ лежит на противолежащей стороне $PQ$, $MF$ делит пополам угол $\angle PMQ$.Следовательно, $\angle FMQ = \frac{1}{2} \angle PMQ = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике $MPQ$ углы при основании $MP$ равны. Угол $\angle QPM$ равен углу $\angle PMQ$. Но мы можем найти его и по-другому. Углы ромба $\angle NMQ$ и $\angle MQP$ — соседние, их сумма равна $180^\circ$.$\angle MQP = 180^\circ - \angle NMQ = 180^\circ - 4\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $MFQ$. В нем известны:

• Сторона $FQ = a$ (по условию).
• Угол $\angle FMQ = \alpha$.
• Угол $\angle FQM = \angle MQP = 180^\circ - 4\alpha$.

Найдем третий угол треугольника $MFQ$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:$\angle MFQ = 180^\circ - (\angle FMQ + \angle FQM) = 180^\circ - (\alpha + 180^\circ - 4\alpha) = 180^\circ - \alpha - 180^\circ + 4\alpha = 3\alpha$.

Применим теорему синусов к треугольнику $MFQ$, чтобы найти сторону $MQ$, которая является стороной ромба $s$:$\frac{MQ}{\sin(\angle MFQ)} = \frac{FQ}{\sin(\angle FMQ)}$Подставим известные нам значения:$\frac{s}{\sin(3\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$Отсюда выражаем сторону ромба $s$:$s = \frac{a \sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Наконец, вычислим площадь ромба:$S = s^2 \sin(4\alpha) = \left(\frac{a \sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)^2 \sin(4\alpha) = a^2 \frac{\sin^2(3\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \sin(4\alpha)$.

Ответ: $S = a^2 \frac{\sin^2(3\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \sin(4\alpha)$.