Номер 1157, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1157, страница 292.

1157 При каком значении x векторы p = xа + 17b и q = 3а − b перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и аb︿ = 120°?

Два вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. То есть, должно выполняться условие $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$.

Подставим данные в это условие:
$\vec{p} = x\vec{a} + 17\vec{b}$
$\vec{q} = 3\vec{a} - \vec{b}$
$(x\vec{a} + 17\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$):
$x\vec{a} \cdot 3\vec{a} - x\vec{a} \cdot \vec{b} + 17\vec{b} \cdot 3\vec{a} - 17\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$
$3x(\vec{a} \cdot \vec{a}) - x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 51(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 17(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$
$3x|\vec{a}|^2 + (51-x)(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 17|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь вычислим значения скалярных произведений, используя данные из условия: $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=5$ и угол между векторами $(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 120^\circ$.
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 2^2 = 4$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$

Подставим вычисленные значения в уравнение:
$3x(4) + (51-x)(-5) - 17(25) = 0$
$12x - 5(51-x) - 425 = 0$
$12x - 255 + 5x - 425 = 0$
$17x - 680 = 0$
$17x = 680$
$x = \frac{680}{17}$
$x = 40$

Ответ: $x=40$.