Номер 1153, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1153, страница 292.

1153 Чтобы определить расстояние между точками A и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки A и B. Измерив угол ACВ и расстояния AC и СВ, находят расстояние AB. Найдите AB, если AC = b, СВ = a, ∠ACВ = α.

Для нахождения расстояния $AB$ мы можем рассмотреть треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон и угол между ними.

По условию задачи мы имеем:

• длина стороны $AC = b$
• длина стороны $CB = a$
• угол между этими сторонами $\angle ACB = \alpha$

Требуется найти длину третьей стороны $AB$.

Для решения этой задачи используется теорема косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применим теорему косинусов к стороне $AB$ треугольника $\triangle ABC$:

$AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = b^2 + a^2 - 2 \cdot b \cdot a \cdot \cos(\alpha)$

Для удобства записи слагаемые в правой части можно переставить:

$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Чтобы найти длину $AB$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина стороны является положительной величиной, мы берем только положительное значение корня:

$AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

Это и есть искомое расстояние между точками $A$ и $B$.

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$