Номер 1147, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1147, страница 291.

1147 Найдите площадь треугольника ABC, если:
а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°;
б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.

а)

Для нахождения площади треугольника ABC нам известна сторона BC и два прилежащих к ней угла, $\angle B$ и $\angle C$. Сначала найдем третий угол, $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 44^\circ - 72^\circ = 64^\circ$.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через сторону и три угла. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$

В нашем случае сторона $a = BC = 4,125$ м, а углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ – это $\angle B$ и $\angle C$. Угол, противолежащий стороне $a=BC$, это $\angle A$. Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{BC^2 \cdot \sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)}{2 \cdot \sin(\angle A)} = \frac{4,125^2 \cdot \sin(44^\circ) \cdot \sin(72^\circ)}{2 \cdot \sin(64^\circ)}$

Произведем вычисления, используя значения синусов:

$\sin(44^\circ) \approx 0,69466$

$\sin(72^\circ) \approx 0,95106$

$\sin(64^\circ) \approx 0,89879$

$S \approx \frac{(4,125)^2 \cdot 0,69466 \cdot 0,95106}{2 \cdot 0,89879} \approx \frac{17,015625 \cdot 0,66067}{1,79758} \approx \frac{11240,4}{1,79758} \approx 6249,75$ м$^2$.

Ответ: $S \approx 6249,75$ м$^2$.

б)

В этом случае нам известна сторона BC и два угла, $\angle A$ и $\angle C$. Сначала найдем третий угол, $\angle B$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 32^\circ - 120^\circ = 28^\circ$.

Как и в предыдущем пункте, используем формулу для площади треугольника через сторону и три угла:

$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$

Здесь $a = BC = 4100$ м. Подставляем значения:

$S = \frac{BC^2 \cdot \sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)}{2 \cdot \sin(\angle A)} = \frac{4100^2 \cdot \sin(28^\circ) \cdot \sin(120^\circ)}{2 \cdot \sin(32^\circ)}$

Произведем вычисления, используя значения синусов:

$\sin(28^\circ) \approx 0,46947$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,86603$

$\sin(32^\circ) \approx 0,52992$

$S \approx \frac{4100^2 \cdot 0,46947 \cdot 0,86603}{2 \cdot 0,52992} \approx \frac{16810000 \cdot 0,40656}{1,05984} \approx \frac{6834316}{1,05984} \approx 6448361$ м$^2$.

Поскольку длина стороны дана целым числом, результат также округлим до целого.

Ответ: $S \approx 6448361$ м$^2$.