Номер 1151, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1151, страница 292.

1151 В треугольнике DEF известно, что DE = 4,5 дм, EF = 9,9 дм, DF = 70 см. Найдите углы треугольника.

Для решения задачи необходимо найти углы треугольника $DEF$, зная длины всех его сторон. Сначала приведем все длины к одной единице измерения, а затем воспользуемся теоремой косинусов.

1. Приведение длин сторон к единой системе измерений

В задаче даны длины сторон в дециметрах (дм) и сантиметрах (см). Переведем все значения в сантиметры, используя соотношение $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

• $DE = 4,5 \text{ дм} = 4,5 \cdot 10 \text{ см} = 45 \text{ см}$
• $EF = 9,9 \text{ дм} = 9,9 \cdot 10 \text{ см} = 99 \text{ см}$
• $DF = 70 \text{ см}$

Прежде чем приступать к вычислениям, проверим, выполняется ли для данных сторон неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны):

• $DE + DF = 45 + 70 = 115 > 99$ (Верно)
• $DE + EF = 45 + 99 = 144 > 70$ (Верно)
• $DF + EF = 70 + 99 = 169 > 45$ (Верно)

Все условия выполняются, следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

2. Нахождение углов по теореме косинусов

Теорема косинусов позволяет найти угол треугольника, если известны длины всех трех его сторон. Формула для нахождения косинуса угла $A$, противолежащего стороне $a$, выглядит так: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$. Отсюда можно выразить косинус угла:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Нахождение угла $D$

Угол $D$ лежит напротив стороны $EF$. Применяем теорему косинусов:

$\cos(\angle D) = \frac{DE^2 + DF^2 - EF^2}{2 \cdot DE \cdot DF} = \frac{45^2 + 70^2 - 99^2}{2 \cdot 45 \cdot 70}$

$\cos(\angle D) = \frac{2025 + 4900 - 9801}{6300} = \frac{6925 - 9801}{6300} = \frac{-2876}{6300} \approx -0,4565$

Поскольку косинус угла отрицательный, угол $D$ является тупым.

$\angle D = \arccos(-0,4565) \approx 117,15^\circ$

Нахождение угла $E$

Угол $E$ лежит напротив стороны $DF$.

$\cos(\angle E) = \frac{DE^2 + EF^2 - DF^2}{2 \cdot DE \cdot EF} = \frac{45^2 + 99^2 - 70^2}{2 \cdot 45 \cdot 99}$

$\cos(\angle E) = \frac{2025 + 9801 - 4900}{8910} = \frac{11826 - 4900}{8910} = \frac{6926}{8910} \approx 0,7773$

$\angle E = \arccos(0,7773) \approx 38,98^\circ$

Нахождение угла $F$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Третий угол найдем, вычтя из $180^\circ$ сумму двух уже известных углов. Этот способ позволяет избежать дополнительных вычислений и уменьшить погрешность округления.

$\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E \approx 180^\circ - 117,15^\circ - 38,98^\circ = 23,87^\circ$

Ответ: углы треугольника $DEF$ примерно равны: $\angle D \approx 117,15^\circ$, $\angle E \approx 38,98^\circ$, $\angle F \approx 23,87^\circ$.