Номер 1158, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1158, страница 292.

Условие.

1158 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Расположим его в системе координат так, чтобы вершина $C$ совпадала с началом координат $(0,0)$, вершина $A$ лежала на оси $Oy$, а вершина $B$ — на оси $Ox$.

Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны. Обозначим длину катетов за $a$: $AC = BC = a$. Тогда координаты вершин треугольника будут следующими: $C(0, 0)$, $A(0, a)$, $B(a, 0)$.

Острые углы треугольника находятся при вершинах $A$ и $B$. Проведем медианы из этих вершин: медиану $AM$ из вершины $A$ к середине стороны $BC$ и медиану $BN$ из вершины $B$ к середине стороны $AC$.

Найдем координаты середин сторон, точек $M$ и $N$.
Точка $M$ — середина отрезка $BC$: $M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)$.
Точка $N$ — середина отрезка $AC$: $N = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right)$.

Медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$, которая является центроидом треугольника. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин:
$O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Угол между медианами — это угол между векторами, лежащими на этих медианах. Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Для этого сначала определим их координаты:
$\vec{OA} = (x_A - x_O, y_A - y_O) = \left(0 - \frac{a}{3}, a - \frac{a}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}, \frac{2a}{3}\right)$.
$\vec{OB} = (x_B - x_O, y_B - y_O) = \left(a - \frac{a}{3}, 0 - \frac{a}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}\right)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \left(-\frac{a}{3}\right) \cdot \left(\frac{2a}{3}\right) + \left(\frac{2a}{3}\right) \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) = -\frac{2a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = -\frac{4a^2}{9}$.

Вычислим модули (длины) векторов:
$|\vec{OA}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}$.
$|\vec{OB}| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{-\frac{4a^2}{9}}{\frac{a\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{3}} = \frac{-\frac{4a^2}{9}}{\frac{5a^2}{9}} = -\frac{4}{5}$.

Полученное значение косинуса отрицательно, значит, угол $\alpha$ — тупой. Это один из углов между медианами. Второй угол, смежный с ним, будет острым. Обозначим острый угол через $\beta$. Для смежных углов $\alpha + \beta = 180^\circ$. Косинус острого угла будет:
$\cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Таким образом, искомый острый угол $\beta$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.