Номер 1158, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1158, страница 292.

1158 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Расположим его в системе координат так, чтобы вершина $C$ совпадала с началом координат $(0,0)$, вершина $A$ лежала на оси $Oy$, а вершина $B$ — на оси $Ox$.

Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны. Обозначим длину катетов за $a$: $AC = BC = a$. Тогда координаты вершин треугольника будут следующими: $C(0, 0)$, $A(0, a)$, $B(a, 0)$.

Острые углы треугольника находятся при вершинах $A$ и $B$. Проведем медианы из этих вершин: медиану $AM$ из вершины $A$ к середине стороны $BC$ и медиану $BN$ из вершины $B$ к середине стороны $AC$.

Найдем координаты середин сторон, точек $M$ и $N$.
Точка $M$ — середина отрезка $BC$: $M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)$.
Точка $N$ — середина отрезка $AC$: $N = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right)$.

Медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$, которая является центроидом треугольника. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин:
$O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{3} \right)$.

Угол между медианами — это угол между векторами, лежащими на этих медианах. Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Для этого сначала определим их координаты:
$\vec{OA} = (x_A - x_O, y_A - y_O) = \left(0 - \frac{a}{3}, a - \frac{a}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}, \frac{2a}{3}\right)$.
$\vec{OB} = (x_B - x_O, y_B - y_O) = \left(a - \frac{a}{3}, 0 - \frac{a}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}\right)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \left(-\frac{a}{3}\right) \cdot \left(\frac{2a}{3}\right) + \left(\frac{2a}{3}\right) \cdot \left(-\frac{a}{3}\right) = -\frac{2a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = -\frac{4a^2}{9}$.

Вычислим модули (длины) векторов:
$|\vec{OA}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}$.
$|\vec{OB}| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{-\frac{4a^2}{9}}{\frac{a\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{3}} = \frac{-\frac{4a^2}{9}}{\frac{5a^2}{9}} = -\frac{4}{5}$.

Полученное значение косинуса отрицательно, значит, угол $\alpha$ — тупой. Это один из углов между медианами. Второй угол, смежный с ним, будет острым. Обозначим острый угол через $\beta$. Для смежных углов $\alpha + \beta = 180^\circ$. Косинус острого угла будет:
$\cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Таким образом, искомый острый угол $\beta$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.