Номер 1160, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1160, страница 292.

1160 В треугольнике ABC, площадь которого равна 33, угол А острый, AB = 43, AC = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Для нахождения радиуса $R$ описанной около треугольника окружности можно использовать следствие из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. В нашем случае, чтобы найти радиус, нам необходимо найти длину стороны $BC$ и синус угла $A$.

1. Найдём синус угла $A$.Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} b c \sin A$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $A$ — угол между ними. По условию задачи нам известны площадь $S = 3\sqrt{3}$, и длины сторон $AB = 4\sqrt{3}$ и $AC = 3$.Подставим эти значения в формулу площади:

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin A$

$3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin A$

Разделив обе части уравнения на $6\sqrt{3}$, получим:

$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

2. Найдём длину стороны $BC$.Для этого воспользуемся теоремой косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$.Сначала определим $\cos A$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Так как по условию угол $A$ острый, его косинус будет положительным.

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы косинусов:

$BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = (16 \cdot 3) + 9 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 48 + 9 - 12 \cdot 3$

$BC^2 = 57 - 36 = 21$

Отсюда $BC = \sqrt{21}$.

3. Найдём радиус описанной окружности $R$.Теперь, зная сторону $BC$ и синус противолежащего ей угла $A$, мы можем найти радиус описанной окружности.

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{\sqrt{21}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{1} = \sqrt{21}$

Ответ: $\sqrt{21}$.