Номер 1167, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1167, страница 300.

1167 Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

а) Утверждение верно. По определению, правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все внутренние углы меньше $180^\circ$ (или, что эквивалентно, он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через его сторону).

Сумма внутренних углов любого простого n-угольника составляет $(n-2) \cdot 180^\circ$. В правильном n-угольнике все $n$ углов равны между собой. Следовательно, величина каждого внутреннего угла $\alpha$ может быть найдена по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $

Преобразуем это выражение: $ \alpha = \frac{n \cdot 180^\circ - 2 \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} $

Поскольку многоугольник существует при $n \ge 3$, то $\frac{360^\circ}{n}$ всегда является положительной величиной. Таким образом, угол $\alpha$ всегда будет строго меньше $180^\circ$. Так как все внутренние углы правильного многоугольника меньше $180^\circ$, то по определению он является выпуклым.

Ответ: да, утверждение верно.

б) Утверждение неверно. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все углы меньше $180^\circ$. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Таким образом, "правильность" является более строгим свойством, чем "выпуклость". Не всякий выпуклый многоугольник будет правильным.

Для опровержения утверждения достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом (например, со сторонами 3 и 5). Все его внутренние углы равны $90^\circ$, что меньше $180^\circ$, следовательно, он является выпуклым. Однако его стороны не равны между собой, поэтому он не является правильным.

Другой контрпример — ромб, не являющийся квадратом. У него все стороны равны, но углы попарно различны (например, $60^\circ$ и $120^\circ$). Он выпуклый, но не равноугольный, а значит, не правильный.

Ответ: нет, утверждение неверно.