Номер 1174, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1174, страница 300.

1174 Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Рассмотрим правильный $n$-угольник. По определению, у правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Важным свойством любого правильного многоугольника является наличие центра — точки $O$, которая является центром как вписанной, так и описанной окружности. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин и от всех сторон многоугольника.

Возьмем любую сторону многоугольника, например, сторону $AB$. Соединим её концы с центром $O$, получив треугольник $\triangle OAB$. Так как $O$ — центр описанной окружности, то отрезки $OA$ и $OB$ являются её радиусами, следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным.

Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ — это прямая, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ медиана, проведенная из вершины $O$ к основанию $AB$, является также высотой и биссектрисой. Эта линия по определению и есть серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Таким образом, серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника обязательно проходит через его центр $O$.

Теперь рассмотрим два произвольных серединных перпендикуляра, $l_1$ и $l_2$, к двум произвольным сторонам, $S_1$ и $S_2$, нашего многоугольника. Как мы только что доказали, обе прямые $l_1$ и $l_2$ проходят через одну и ту же точку — центр многоугольника $O$.

Две прямые на плоскости, имеющие общую точку, могут находиться в двух соотношениях:

1. Они пересекаются в этой единственной общей точке.
2. Они совпадают, то есть являются одной и той же прямой.

Рассмотрим эти два случая для наших серединных перпендикуляров:

• Если стороны $S_1$ и $S_2$ не параллельны, то их серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ также не будут параллельны. Поскольку они имеют общую точку $O$, они пересекаются в этой точке.
• Если стороны $S_1$ и $S_2$ параллельны (что возможно для правильных многоугольников с четным числом сторон), то прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и второй. Так как $l_1 \perp S_1$ и $S_1 \parallel S_2$, то $l_1 \perp S_2$. Таким образом, обе прямые $l_1$ и $l_2$ проходят через точку $O$ и перпендикулярны одной и той же прямой (например, $S_2$). На плоскости через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать.

Таким образом, серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются в его центре, либо совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все серединные перпендикуляры к сторонам правильного многоугольника проходят через его центр. Если стороны не параллельны, их серединные перпендикуляры пересекаются в центре. Если стороны параллельны, их серединные перпендикуляры совпадают.