Номер 1177, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1177, страница 301.

1177 На рисунке 347, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a₃ — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

N	R	r	a₃	P	S
1	3
2					10
3		2
4			5
5				6

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного (равностороннего) треугольника $a_3$ с радиусом описанной окружности $R$, радиусом вписанной окружности $r$, периметром $P$ и площадью $S$.

Основные формулы:

• Периметр: $P = 3a_3$
• Площадь: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$
• Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$
• Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$

Из этих формул также следуют полезные соотношения, которые мы будем использовать:

• $R = 2r$
• $a_3 = R\sqrt{3}$
• $a_3 = 2r\sqrt{3}$

Теперь заполним каждую строку таблицы.

1

Дано: $R = 3$.

1. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

2. Находим сторону треугольника $a_3$: $a_3 = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

3. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

4. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $r = 1.5$, $a_3 = 3\sqrt{3}$, $P = 9\sqrt{3}$, $S = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

2

Дано: $S = 10$.

1. Находим сторону $a_3$ из формулы площади: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \implies 10 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$. $a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$. $a_3 = \sqrt{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

2. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot 3} = \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$.

Ответ: $R = \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$, $r = \frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$, $a_3 = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$, $P = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

3

Дано: $r = 2$.

1. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = 2r = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Находим сторону треугольника $a_3$: $a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

3. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

4. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $R = 4$, $a_3 = 4\sqrt{3}$, $P = 12\sqrt{3}$, $S = 12\sqrt{3}$.

4

Дано: $a_3 = 5$.

1. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 5 = 15$.

2. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $R = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{5\sqrt{3}}{6}$, $P = 15$, $S = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

5

Дано: $P = 6$.

1. Находим сторону $a_3$ из формулы периметра: $P = 3a_3 \implies 6 = 3a_3 \implies a_3 = 2$.

2. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $a_3 = 2$, $S = \sqrt{3}$.

Итоговая заполненная таблица:

N	R	r	$a_3$	P	S
1	3	1.5	$3\sqrt{3}$	$9\sqrt{3}$	$\frac{27\sqrt{3}}{4}$
2	$\frac{2\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$	$\frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$	$2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$	$6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$	10
3	4	2	$4\sqrt{3}$	$12\sqrt{3}$	$12\sqrt{3}$
4	$\frac{5\sqrt{3}}{3}$	$\frac{5\sqrt{3}}{6}$	5	15	$\frac{25\sqrt{3}}{4}$
5	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	2	6	$\sqrt{3}$