Номер 1184, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1184, страница 301.

1184 Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Основание головки болта имеет форму правильного шестиугольника. Расстояние между параллельными гранями (сторонами) правильного шестиугольника, обозначим его $d$, связано с длиной его стороны $a$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Расстояние $d$ равно удвоенной высоте одного такого треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $d = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Площадь правильного шестиугольника $S$ можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, значит, площадь шестиугольника:$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Мы можем выразить площадь шестиугольника через известное расстояние $d$. Из формулы $d = a\sqrt{3}$ выразим сторону $a$: $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади:$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2}{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи $d = 1,5$ см. Подставим это значение в полученную формулу для площади:$S = \frac{(1,5)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2,25\sqrt{3}}{2}$.

Для получения ответа в виде обыкновенной дроби, представим $2,25$ как $\frac{9}{4}$:$S = \frac{\frac{9}{4} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{3}}{8}$ см².

Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{8}$ см².