Номер 1187, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1187, страница 301.

1187 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, $P$ — его периметр, $S$ — его площадь, $r$ — радиус вписанной окружности, $R$ — радиус описанной окружности.

В правильном треугольнике высота $h$ связана со стороной $a$ формулой $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Радиус вписанной окружности $r$ равен трети высоты, то есть $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Радиус описанной окружности $R$ равен двум третям высоты, то есть $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Из этих соотношений также следует, что $R=2r$.

а) через радиус вписанной окружности

Сторона ($a$)
Из формулы $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ выразим сторону $a$:
$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6r\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}r}{3} = 2\sqrt{3}r$.

Периметр ($P$)
Периметр правильного треугольника равен $P = 3a$. Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot (2\sqrt{3}r) = 6\sqrt{3}r$.

Площадь ($S$)
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим выражение для $a$:
$S = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$.

Ответ: сторона $a = 2\sqrt{3}r$, периметр $P = 6\sqrt{3}r$, площадь $S = 3\sqrt{3}r^2$.

б) через радиус описанной окружности

Сторона ($a$)
Из формулы $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ выразим сторону $a$:
$a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}R}{3} = \sqrt{3}R$.

Периметр ($P$)
Периметр $P = 3a$. Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot (\sqrt{3}R) = 3\sqrt{3}R$.

Площадь ($S$)
Площадь $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим выражение для $a$:
$S = \frac{(\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

Ответ: сторона $a = \sqrt{3}R$, периметр $P = 3\sqrt{3}R$, площадь $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.