Номер 1193, страница 307 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1193, страница 307.

1193 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами a и b; в) равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной a и острым углом α между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 243 см².

а) Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан со стороной формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в формулу для длины окружности: $C = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $C = \frac{2\pi a \sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $C = \frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$.

б) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. Катеты треугольника равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Радиус описанной окружности: $R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \pi\sqrt{a^2 + b^2}$.
Ответ: $C = \pi\sqrt{a^2 + b^2}$.

в) Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$. В данном случае стороны равнобедренного треугольника равны $a$ (основание), $b$ и $b$ (боковые стороны). Найдем площадь треугольника $S$. Проведем высоту $h$ к основанию $a$. Эта высота делит основание пополам. По теореме Пифагора для полученного прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $\frac{a}{2}$ и гипотенузой $b$: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$, откуда $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}$. Теперь найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4S} = \frac{ab^2}{4 \cdot \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}} = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
Ответ: $C = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.

г) Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали $d$. Таким образом, радиус $R = \frac{d}{2}$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основанием которого является меньшая сторона прямоугольника $a$, а боковыми сторонами — половины диагоналей ($\frac{d}{2}$). Угол при вершине этого треугольника (между диагоналями) равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}$, где $\beta$ — угол при основании треугольника, равный $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Тогда $\sin \beta = \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$. Подставим в теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$. Выразим радиус $R$: $R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin \alpha}$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получим: $R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Ответ: $C = \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

д) Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $s$, то есть $R=s$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $s$. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Площадь всего шестиугольника $S_{шест.} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3s^2\sqrt{3}}{2}$. По условию, площадь равна $24\sqrt{3}$ см?. Приравниваем: $\frac{3s^2\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$. Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $\frac{3s^2}{2} = 24$, откуда $3s^2 = 48$, и $s^2 = 16$. Следовательно, сторона шестиугольника $s = 4$ см. Радиус описанной окружности $R = s = 4$ см. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.
Ответ: $C = 8\pi$ см.