Номер 1191, страница 307 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1191, страница 307.

1191 Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности, а $\pi$ — математическая константа. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от ее радиуса. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности. Рассмотрим каждый случай подробно.

а)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус увеличили в 3 раза, значит, новый радиус $r_2 = 3r_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (3r_1) = 3 \cdot (2\pi r_1)$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = 3 C_1$.
Следовательно, длина окружности увеличится в 3 раза.
Ответ: Длина окружности увеличится в 3 раза.

б)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус уменьшили в 2 раза, значит, новый радиус $r_2 = \frac{r_1}{2}$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{2}\right) = \frac{2\pi r_1}{2}$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = \frac{C_1}{2}$.
Следовательно, длина окружности уменьшится в 2 раза.
Ответ: Длина окружности уменьшится в 2 раза.

в)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус увеличили в $k$ раз, значит, новый радиус $r_2 = k \cdot r_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (k \cdot r_1) = k \cdot (2\pi r_1)$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = k \cdot C_1$.
Следовательно, длина окружности увеличится в $k$ раз.
Ответ: Длина окружности увеличится в $k$ раз.

г)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус уменьшили в $k$ раз, значит, новый радиус $r_2 = \frac{r_1}{k}$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{k}\right) = \frac{2\pi r_1}{k}$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = \frac{C_1}{k}$.
Следовательно, длина окружности уменьшится в $k$ раз.
Ответ: Длина окружности уменьшится в $k$ раз.