Номер 1188, страница 302 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1188, страница 302.

1188 Правильный восьмиугольник А₁А₂...А₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A₃A₄A₇A₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

Доказательство того, что четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$ является прямоугольником

Пусть дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$, вписанный в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Поскольку восьмиугольник является правильным, все центральные углы, опирающиеся на его стороны, равны. Величина каждого такого угла составляет $360^\circ / 8 = 45^\circ$. То есть, $\angle A_i O A_{i+1} = 45^\circ$ для любого $i \in \{1, ..., 8\}$, где $A_9$ совпадает с $A_1$.

Рассмотрим диагональ $A_3A_7$ заданного четырёхугольника. Она соединяет вершины $A_3$ и $A_7$. Между этими вершинами по окружности лежат вершины $A_4, A_5, A_6$. Таким образом, диагональ $A_3A_7$ стягивает дугу, состоящую из $7 - 3 = 4$ сторон восьмиугольника. Центральный угол $\angle A_3OA_7$, опирающийся на эту дугу, равен сумме четырёх центральных углов, то есть $4 \times 45^\circ = 180^\circ$.

Развёрнутый центральный угол означает, что точки $A_3, O, A_7$ лежат на одной прямой. Следовательно, хорда $A_3A_7$ является диаметром описанной окружности.

Аналогично рассмотрим другую диагональ, $A_4A_8$. Она соединяет вершины $A_4$ и $A_8$. Между ними лежат вершины $A_5, A_6, A_7$. Эта диагональ стягивает дугу, состоящую из $8 - 4 = 4$ сторон восьмиугольника. Центральный угол $\angle A_4OA_8$ также равен $4 \times 45^\circ = 180^\circ$.

Следовательно, хорда $A_4A_8$ также является диаметром описанной окружности.

Четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$ вписан в окружность, и его диагонали $A_3A_7$ и $A_4A_8$ являются диаметрами этой окружности. Это означает, что диагонали равны ($|A_3A_7| = |A_4A_8| = 2R$) и точкой пересечения (центром $O$) делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, является прямоугольником.

Кроме того, каждый угол этого четырёхугольника (например, $\angle A_3A_4A_7$) является вписанным и опирается на диаметр (в данном случае $A_3A_7$), а значит, равен $90^\circ$. Четырёхугольник с четырьмя прямыми углами — это прямоугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$, диагонали которого являются диаметрами описанной окружности, является прямоугольником.

Выражение площади четырёхугольника через $R$

Площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле через его диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Как мы установили ранее, диагоналями прямоугольника $A_3A_4A_7A_8$ являются диаметры окружности $A_3A_7$ и $A_4A_8$. Таким образом, их длины равны $d_1 = 2R$ и $d_2 = 2R$.

Диагонали пересекаются в центре окружности $O$. Угол $\alpha$ между ними равен центральному углу, заключённому между концами диагоналей. Например, это угол $\angle A_3OA_4$. Этот угол опирается на одну сторону правильного восьмиугольника, поэтому его величина равна $45^\circ$.

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot \sin(45^\circ)$

Упростим выражение:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2\sqrt{2}$

Ответ: $S = R^2\sqrt{2}$.