Страница 302 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1188 Правильный восьмиугольник А₁А₂...А₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A₃A₄A₇A₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

Доказательство того, что четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$ является прямоугольником

Пусть дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$, вписанный в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Поскольку восьмиугольник является правильным, все центральные углы, опирающиеся на его стороны, равны. Величина каждого такого угла составляет $360^\circ / 8 = 45^\circ$. То есть, $\angle A_i O A_{i+1} = 45^\circ$ для любого $i \in \{1, ..., 8\}$, где $A_9$ совпадает с $A_1$.

Рассмотрим диагональ $A_3A_7$ заданного четырёхугольника. Она соединяет вершины $A_3$ и $A_7$. Между этими вершинами по окружности лежат вершины $A_4, A_5, A_6$. Таким образом, диагональ $A_3A_7$ стягивает дугу, состоящую из $7 - 3 = 4$ сторон восьмиугольника. Центральный угол $\angle A_3OA_7$, опирающийся на эту дугу, равен сумме четырёх центральных углов, то есть $4 \times 45^\circ = 180^\circ$.

Развёрнутый центральный угол означает, что точки $A_3, O, A_7$ лежат на одной прямой. Следовательно, хорда $A_3A_7$ является диаметром описанной окружности.

Аналогично рассмотрим другую диагональ, $A_4A_8$. Она соединяет вершины $A_4$ и $A_8$. Между ними лежат вершины $A_5, A_6, A_7$. Эта диагональ стягивает дугу, состоящую из $8 - 4 = 4$ сторон восьмиугольника. Центральный угол $\angle A_4OA_8$ также равен $4 \times 45^\circ = 180^\circ$.

Следовательно, хорда $A_4A_8$ также является диаметром описанной окружности.

Четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$ вписан в окружность, и его диагонали $A_3A_7$ и $A_4A_8$ являются диаметрами этой окружности. Это означает, что диагонали равны ($|A_3A_7| = |A_4A_8| = 2R$) и точкой пересечения (центром $O$) делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, является прямоугольником.

Кроме того, каждый угол этого четырёхугольника (например, $\angle A_3A_4A_7$) является вписанным и опирается на диаметр (в данном случае $A_3A_7$), а значит, равен $90^\circ$. Четырёхугольник с четырьмя прямыми углами — это прямоугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$, диагонали которого являются диаметрами описанной окружности, является прямоугольником.

Выражение площади четырёхугольника через $R$

Площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле через его диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Как мы установили ранее, диагоналями прямоугольника $A_3A_4A_7A_8$ являются диаметры окружности $A_3A_7$ и $A_4A_8$. Таким образом, их длины равны $d_1 = 2R$ и $d_2 = 2R$.

Диагонали пересекаются в центре окружности $O$. Угол $\alpha$ между ними равен центральному углу, заключённому между концами диагоналей. Например, это угол $\angle A_3OA_4$. Этот угол опирается на одну сторону правильного восьмиугольника, поэтому его величина равна $45^\circ$.

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot \sin(45^\circ)$

Упростим выражение:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2\sqrt{2}$

Ответ: $S = R^2\sqrt{2}$.

1189 С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.

а) правильный шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника, вписанного в данную окружность, используется свойство, что сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу описанной окружности ($a_6 = R$).

Порядок построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке О и радиусом R. Если центр не указан, его можно найти, построив серединные перпендикуляры к двум любым непараллельным хордам.

2. Выберите на окружности произвольную точку А. Это будет первая вершина шестиугольника.

3. Раствором циркуля, равным радиусу окружности R (можно измерить расстояние от центра О до любой точки на окружности), проведите из точки А как из центра дугу до пересечения с окружностью. Обозначьте точку пересечения как В.

4. Переставьте ножку циркуля в точку В и тем же раствором R проведите дугу, получив на окружности точку С.

5. Продолжайте этот процесс последовательно для точек С, D, E, F. То есть, из точки С получите точку D, из D — E, из E — F.

6. После пяти шагов, проведя дугу из точки F, вы должны попасть в исходную точку А. Это служит проверкой точности построения.

7. Соедините с помощью линейки последовательно точки А, В, С, D, E, F.

Полученный многоугольник ABCDEF является искомым правильным шестиугольником.

Ответ: Выбрать на окружности произвольную точку, и от неё последовательно отложить циркулем на окружности шесть дуг, радиус которых равен радиусу самой окружности. Соединить полученные точки.

б) правильный треугольник

Правильный треугольник можно построить, соединяя вершины правильного вписанного шестиугольника через одну.

Порядок построения:

1. Сначала постройте правильный шестиугольник ABCDEF, вписанный в данную окружность, как описано в пункте а).

2. Выберите любую вершину шестиугольника, например, А.

3. Соедините с помощью линейки эту вершину с вершинами, следующими через одну, то есть А с С, С с Е, и Е с А.

Полученный треугольник ACE является искомым правильным треугольником. Его стороны стягивают дуги в $120^\circ$.

Ответ: Построить правильный вписанный шестиугольник и соединить его вершины через одну.

в) квадрат

Диагонали вписанного в окружность квадрата являются её перпендикулярными диаметрами.

Порядок построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке О.

2. С помощью линейки проведите через центр О произвольный диаметр. Обозначьте его концы, лежащие на окружности, как А и С. Это будут две противоположные вершины квадрата.

3. Теперь необходимо построить диаметр, перпендикулярный диаметру АС. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку АС.

4. Установите ножку циркуля в точку А и проведите дугу радиусом, большим, чем радиус окружности R (например, равным диаметру АС).

5. Не меняя раствора циркуля, установите его ножку в точку С и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовем их M и N).

6. С помощью линейки проведите прямую через точки M и N. Эта прямая пройдет через центр О и будет перпендикулярна диаметру АС.

7. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначьте как В и D. Это две другие вершины квадрата.

8. Соедините с помощью линейки последовательно точки А, В, С, D.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым квадратом.

Ответ: Провести в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра и соединить их концы.

г) правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник можно получить из вписанного квадрата, разделив пополам дуги, стягиваемые его сторонами.

Порядок построения:

1. Сначала постройте квадрат ABCD, вписанный в окружность, как описано в пункте в). Вы получите четыре вершины A, B, C, D и два перпендикулярных диаметра AC и BD.

2. Необходимо найти середины четырех дуг: дуги AB, дуги BC, дуги CD и дуги DA. Для этого нужно построить серединные перпендикуляры к хордам, стягивающим эти дуги (то есть к сторонам квадрата).

3. Построим серединный перпендикуляр к хорде АВ. Установите ножку циркуля в точку А и проведите дугу. Затем, не меняя раствора, установите ножку в точку В и проведите вторую дугу, пересекающую первую.

4. Проведите прямую через точки пересечения этих дуг. Эта прямая является серединным перпендикуляром к АВ. Она пройдет через центр О и пересечет окружность в новой точке, которую мы назовем E.

5. Повторите аналогичную процедуру для хорд BC, CD и DA, чтобы найти новые вершины F, G и H соответственно. Альтернативно, можно построить биссектрисы центральных прямых углов, например, $\angle AOB$, так как серединный перпендикуляр к хорде является также биссектрисой соответствующего центрального угла.

6. В результате вы получите восемь точек на окружности: A, E, B, F, C, G, D, H.

7. Соедините с помощью линейки последовательно все восемь точек.

Полученный многоугольник AEBFCGDH является искомым правильным восьмиугольником.

Ответ: Построить вписанный квадрат, а затем построить серединные перпендикуляры к его сторонам. Точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью вместе с вершинами квадрата образуют вершины правильного восьмиугольника.