Страница 309 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1206 Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь круга, а $r$ — его радиус. Мы проанализируем, как изменение радиуса $r$ влияет на площадь $S$.

а)

Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, а соответствующая ему площадь равна $S_1 = \pi r_1^2$. Согласно условию, радиус увеличивают в $k$ раз. Новый радиус $r_2$ будет равен: $r_2 = k \cdot r_1$.

Теперь вычислим новую площадь круга $S_2$, используя новый радиус $r_2$: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (k \cdot r_1)^2 = \pi \cdot k^2 \cdot r_1^2$.

Чтобы найти, как изменилась площадь, сравним $S_2$ с $S_1$. Мы можем переписать выражение для $S_2$, подставив $S_1$: $S_2 = k^2 \cdot (\pi r_1^2) = k^2 \cdot S_1$.

Из этого соотношения видно, что новая площадь в $k^2$ раз больше первоначальной.

Ответ: увеличится в $k^2$ раз.

б)

Пусть, как и в предыдущем пункте, первоначальный радиус равен $r_1$, а площадь — $S_1 = \pi r_1^2$. Согласно условию, радиус уменьшают в $k$ раз. Новый радиус $r_2$ будет равен: $r_2 = \frac{r_1}{k}$.

Вычислим новую площадь круга $S_2$ с радиусом $r_2$: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{k}\right)^2 = \frac{\pi \cdot r_1^2}{k^2}$.

Теперь сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$: $S_2 = \frac{1}{k^2} \cdot (\pi r_1^2) = \frac{S_1}{k^2}$.

Это соотношение показывает, что новая площадь в $k^2$ раз меньше первоначальной.

Ответ: уменьшится в $k^2$ раз.

1207 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

а)

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. Для круга, описанного около прямоугольника, диаметр круга равен диагонали прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Найдем его диагональ $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Теперь можем найти площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}$

Ответ: $\frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}$

б)

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус $R$ равен половине гипотенузы. Пусть дан катет $a$ и противолежащий ему угол $\alpha$. Гипотенузу $c$ можно найти из определения синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Отсюда гипотенуза $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$.

Также можно использовать обобщенную теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$

Из этого соотношения выразим радиус:

$R = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$

Площадь круга $S$ равна:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$

в)

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием $a$ и высотой $h$, проведенной к основанию, воспользуемся общей формулой для радиуса описанной окружности $R = \frac{xyz}{4K}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $K$ — его площадь.

Пусть боковая сторона треугольника равна $b$. Высота $h$ делит основание $a$ на два отрезка по $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем:

$b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

Площадь треугольника $K$ равна:

$K = \frac{1}{2}ah$

Теперь подставим стороны ($a, b, b$) и площадь $K$ в формулу для радиуса:

$R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4K} = \frac{ab^2}{4 \cdot \frac{1}{2}ah} = \frac{ab^2}{2ah} = \frac{b^2}{2h}$

Заменим $b^2$ на ранее найденное выражение:

$R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$

Найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a^2 + 4h^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$

Ответ: $\frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$

1208 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с бо́льшим основанием a и острым углом α.

а) Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а ее радиус составляет одну треть от высоты треугольника: $r = \frac{1}{3}h$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по теореме Пифагора и равна $h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь можем найти площадь вписанного круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2}{12}$

б) Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся свойством биссектрисы угла.

Пусть катет $AC=a$ и угол $\angle A = \alpha$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисе угла $A$. Опустим из центра $I$ перпендикуляр $IP$ на катет $AC$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$. Отрезок $AP$ равен $a-r$. В прямоугольном треугольнике $AIP$ угол $\angle IAP = \alpha/2$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIP$ имеем: $\tan(\angle IAP) = \frac{IP}{AP}$, то есть $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a-r}$.

Выразим $r$ из этого уравнения:
$r = (a-r)\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r = a\tan(\frac{\alpha}{2}) - r\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r(1 + \tan(\frac{\alpha}{2})) = a\tan(\frac{\alpha}{2})$
$r = \frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan(\frac{\alpha}{2})}$

Площадь вписанного круга равна $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan(\frac{\alpha}{2}))^2}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan(\frac{\alpha}{2}))^2}$

в) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине (противолежащим основанию) радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot a \sin(\alpha) = \frac{1}{2}a^2\sin(\alpha)$.

Основание треугольника $b$ найдем по теореме косинусов: $b = \sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos(\alpha)} = \sqrt{2a^2(1-\cos\alpha)} = \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Полупериметр: $p = \frac{a+a+b}{2} = a + \frac{b}{2} = a + a\sin(\frac{\alpha}{2}) = a(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}a^2\sin(\alpha)}{a(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:
$r = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь круга $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$.
Упростим, используя $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = (1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$:
$S_{кр} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))^2} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}$

г) В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, ее диаметр равен высоте трапеции $h$. Таким образом, радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2}$.

Пусть дано большее основание $a$ и острый угол при основании $\alpha$. Обозначим меньшее основание $b$, боковую сторону $c$. Проведем высоту $h$ из вершины при меньшем основании. Она образует прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$, катетом $h$ и вторым катетом $x = \frac{a-b}{2}$.

Из этого треугольника $h = c\sin(\alpha)$ и $x = c\cos(\alpha)$. Условие вписанной окружности для трапеции: $a+b=2c$.

Из $x = \frac{a-b}{2}$ выразим $b = a - 2x$. Подставим в условие $a+b=2c$:
$a + (a-2x) = 2c \Rightarrow 2a - 2x = 2c \Rightarrow a-x=c$.

Подставим сюда $x = c\cos(\alpha)$: $a - c\cos(\alpha) = c \Rightarrow a = c(1+\cos\alpha)$.
Отсюда боковая сторона $c = \frac{a}{1+\cos\alpha}$.

Найдем высоту трапеции: $h = c\sin(\alpha) = \frac{a\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$.
Упростим, используя формулы половинного угла $\sin\alpha=2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos\alpha=2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$:
$h = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = a\frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = a\tan(\frac{\alpha}{2})$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\tan(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\tan(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $S_{кр} = \frac{\pi a^2}{4}\tan^2(\frac{\alpha}{2})$

1209 Диаметр основания Царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.

Основание колокола представляет собой круг. Чтобы найти его площадь $S$, можно использовать формулу площади круга. В условии задачи дан диаметр основания $d = 6,6$ м.

Сначала найдем радиус $r$ основания. Радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{6,6}{2} = 3,3$ м.

Теперь воспользуемся формулой площади круга, которая выражается через радиус:

$S = \pi r^2$

Подставим в формулу значение радиуса:

$S = \pi \times (3,3)^2$

Вычислим квадрат радиуса:

$(3,3)^2 = 3,3 \times 3,3 = 10,89$

Таким образом, площадь основания колокола равна:

$S = 10,89\pi$ м².

Также задачу можно решить, используя формулу площади круга через диаметр $d$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим значение диаметра $d = 6,6$ м:

$S = \frac{\pi \times (6,6)^2}{4} = \frac{\pi \times 43,56}{4} = 10,89\pi$ м².

Ответ: $10,89\pi$ м².

1210 Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.

Диаметр

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ – это диаметр. По условию задачи, длина окружности цирковой арены $C = 41$ м. Чтобы найти диаметр, выразим его из формулы $d = \frac{C}{\pi}$. Подставив значение длины окружности, получаем: $d = \frac{41}{\pi}$ м. Если принять значение $\pi \approx 3.14$, то диаметр будет приблизительно равен $d \approx \frac{41}{3.14} \approx 13.06$ м.

Ответ: диаметр арены равен $\frac{41}{\pi}$ м, что приблизительно составляет $13.06$ м.

Площадь

Площадь арены $S$, которая имеет форму круга, можно найти по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус. Радиус связан с диаметром соотношением $r = \frac{d}{2}$. Используя найденный ранее диаметр $d = \frac{41}{\pi}$ м, найдем радиус: $r = \frac{1}{2} \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{41}{\pi} = \frac{41}{2\pi}$ м. Теперь вычислим площадь: $S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\frac{41}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{41^2}{4\pi^2} = \pi \cdot \frac{1681}{4\pi^2} = \frac{1681}{4\pi}$ м². Если принять значение $\pi \approx 3.14$, то площадь будет приблизительно равна $S \approx \frac{1681}{4 \cdot 3.14} = \frac{1681}{12.56} \approx 133.84$ м².

Ответ: площадь арены равна $\frac{1681}{4\pi}$ м², что приблизительно составляет $133.84$ м².

1211 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R₁ и R₂, R₁ < R₂. Вычислите площадь кольца, если R₁ = 1,5 см, R₂ = 2,5 см.

Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами $R_1$ и $R_2$, $R_1 < R_2$.
Площадь кольца определяется как разность площадей большего круга (с радиусом $R_2$) и меньшего круга (с радиусом $R_1$). Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Площадь большего круга, $S_2$, равна $S_2 = \pi R_2^2$.
Площадь меньшего круга, $S_1$, равна $S_1 = \pi R_1^2$.
Следовательно, площадь кольца, $S_{кольца}$, равна:
$S_{кольца} = S_2 - S_1 = \pi R_2^2 - \pi R_1^2$
Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:
$S_{кольца} = \pi(R_2^2 - R_1^2)$
Ответ: $S_{кольца} = \pi(R_2^2 - R_1^2)$.

Вычислите площадь кольца, если $R_1=1,5$ см, $R_2=2,5$ см.
Используем выведенную выше формулу и подставим в нее заданные значения радиусов:
$S_{кольца} = \pi((2,5)^2 - (1,5)^2)$
Вычислим значения квадратов радиусов:
$(2,5)^2 = 6,25$
$(1,5)^2 = 2,25$
Подставим эти значения обратно в формулу:
$S_{кольца} = \pi(6,25 - 2,25) = \pi \cdot 4 = 4\pi$
Для вычисления также можно было использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$S_{кольца} = \pi(R_2 - R_1)(R_2 + R_1) = \pi(2,5 - 1,5)(2,5 + 1,5) = \pi \cdot 1 \cdot 4 = 4\pi$
Площадь измеряется в квадратных сантиметрах.
Ответ: $4\pi$ см$^2$.

1212 Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм², чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?

Чтобы найти толщину слоя, который нужно снять с проволоки, необходимо выполнить следующие действия: сначала определить начальный радиус (или диаметр) проволоки по известной площади сечения, а затем найти разницу между начальным и конечным радиусами.

1. Найдем начальный радиус и диаметр проволоки.
Площадь поперечного сечения проволоки ($S$) представляет собой площадь круга и вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус.По условию, площадь сечения $S = 314 \text{ мм}^2$. Будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.Выразим из формулы и найдем начальный радиус $r_1$:
$r_1^2 = \frac{S}{\pi} = \frac{314}{3,14} = 100 \text{ мм}^2$
$r_1 = \sqrt{100} = 10 \text{ мм}$
Начальный диаметр проволоки $d_1$ равен удвоенному радиусу:
$d_1 = 2 \cdot r_1 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ мм}$.

2. Определим конечный радиус проволоки.
Чтобы проволока прошла сквозь отверстие, ее итоговый диаметр $d_2$ должен быть равен диаметру отверстия, то есть $d_2 = 18,5 \text{ мм}$.Найдем конечный радиус проволоки $r_2$:
$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{18,5}{2} = 9,25 \text{ мм}$.

3. Вычислим толщину снимаемого слоя.
Толщина снимаемого слоя ($h$) равна разности между начальным и конечным радиусами:
$h = r_1 - r_2 = 10 \text{ мм} - 9,25 \text{ мм} = 0,75 \text{ мм}$.

Этот же результат можно получить, найдя половину разности диаметров:
$h = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{20 \text{ мм} - 18,5 \text{ мм}}{2} = \frac{1,5 \text{ мм}}{2} = 0,75 \text{ мм}$.

Ответ: $0,75 \text{ мм}$.

1213 Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м² дорожки требуется 0,8 дм³ песка?

Для того чтобы найти, сколько песка потребуется, необходимо сначала вычислить площадь дорожки. Дорожка имеет форму кольца, площадь которого равна разности площадей большого круга (клумба с дорожкой) и малого круга (клумба).

1. Определение радиусов
Радиус клумбы (малого круга) по условию составляет $r_1 = 3$ м.
Ширина дорожки равна $1$ м.
Радиус большого круга, включающего клумбу и дорожку, будет равен сумме радиуса клумбы и ширины дорожки:
$R = r_1 + 1 \text{ м} = 3 \text{ м} + 1 \text{ м} = 4$ м.

2. Вычисление площади дорожки
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.
Площадь большого круга: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ м?.
Площадь малого круга (клумбы): $S_{r1} = \pi r_1^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ м?.
Площадь дорожки ($S_{дорожки}$) равна разности площадей большого и малого кругов:
$S_{дорожки} = S_R - S_{r1} = 16\pi - 9\pi = 7\pi$ м?.

3. Расчет необходимого объема песка
Согласно условию, на $1$ м? дорожки требуется $0,8$ дм? песка. Чтобы найти общий объем песка ($V$), нужно умножить площадь дорожки на норму расхода:
$V = S_{дорожки} \times 0,8 = 7\pi \times 0,8 = 5,6\pi$ дм?.
Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:
$V \approx 5,6 \times 3,14 = 17,584$ дм?.
Округлив результат до десятых, получаем примерно $17,6$ дм?.

Ответ: чтобы посыпать дорожку, потребуется $5,6\pi$ дм? песка, что приблизительно равно $17,6$ дм?.

1214 Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

Для того чтобы найти площадь оставшейся части круга, необходимо из площади исходного круга вычесть площадь вырезанного из него квадрата. Обозначим искомую площадь как $S_{ост}$.

1. Сначала найдем площадь круга. Площадь круга ($S_{круга}$) с радиусом $r$ вычисляется по известной формуле:

$S_{круга} = \pi r^2$

2. Далее найдем площадь вписанного квадрата ($S_{квадрата}$). Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ ($d$) совпадает с диаметром окружности. Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно, $d = 2r$.

Площадь квадрата можно выразить через его диагональ. Если сторона квадрата равна $a$, то по теореме Пифагора $a^2 + a^2 = d^2$, откуда $2a^2 = d^2$. Площадь квадрата $S_{квадрата} = a^2$, значит $S_{квадрата} = \frac{d^2}{2}$.

Подставим в эту формулу значение диагонали $d = 2r$:

$S_{квадрата} = \frac{(2r)^2}{2} = \frac{4r^2}{2} = 2r^2$

3. Теперь вычислим площадь оставшейся части круга, вычтя площадь квадрата из площади круга:

$S_{ост} = S_{круга} - S_{квадрата} = \pi r^2 - 2r^2$

Для получения окончательного ответа вынесем общий множитель $r^2$ за скобки:

$S_{ост} = r^2(\pi - 2)$

Ответ: $r^2(\pi - 2)$

1215 На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Мишень состоит из центрального круга и трёх концентрических колец.

Площадь наименьшего круга

Наименьший круг — это центральная часть мишени с радиусом $r_1 = 1$. Его площадь $S_1$ равна:

$S_1 = \pi \cdot r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$

Ответ: $\pi$.

Площадь первого кольца

Первое кольцо образовано окружностями с радиусами $r_2 = 2$ и $r_1 = 1$. Его площадь равна разности площадей кругов с этими радиусами. Площадь круга с радиусом $r_2$ равна $S_2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь первого кольца $S_{кольцо1}$ равна:

$S_{кольцо1} = S_2 - S_1 = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = 4\pi - \pi = 3\pi$

Ответ: $3\pi$.

Площадь второго кольца

Второе кольцо образовано окружностями с радиусами $r_3 = 3$ и $r_2 = 2$. Его площадь равна разности площадей соответствующих кругов. Площадь круга с радиусом $r_3$ равна $S_3 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$.

Площадь второго кольца $S_{кольцо2}$ равна:

$S_{кольцо2} = S_3 - S_2 = \pi r_3^2 - \pi r_2^2 = 9\pi - 4\pi = 5\pi$

Ответ: $5\pi$.

Площадь третьего кольца

Третье кольцо образовано окружностями с радиусами $r_4 = 4$ и $r_3 = 3$. Его площадь равна разности площадей кругов с этими радиусами. Площадь круга с радиусом $r_4$ равна $S_4 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Площадь третьего кольца $S_{кольцо3}$ равна:

$S_{кольцо3} = S_4 - S_3 = \pi r_4^2 - \pi r_3^2 = 16\pi - 9\pi = 7\pi$

Ответ: $7\pi$.

1216 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$. Согласно теореме Пифагора, для сторон этого треугольника выполняется следующее соотношение:
$a^2 + b^2 = c^2$

На каждой из сторон треугольника построен полукруг, причем сторона является диаметром этого полукруга. Выразим площади этих полукругов через длины сторон треугольника.

Общая формула площади круга с радиусом $r$ — это $S_{круга} = \pi r^2$. Соответственно, площадь полукруга равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$. Поскольку стороны треугольника являются диаметрами ($d$) полукругов, их радиусы будут равны половине длины соответствующей стороны: $r = \frac{d}{2}$.
Тогда площадь полукруга с диаметром $d$ можно выразить как:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8}$

Теперь найдем площади каждого из трех полукругов:
1. Площадь полукруга, построенного на катете $a$, обозначим как $S_a$. Его диаметр равен $a$.
$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$
2. Площадь полукруга, построенного на катете $b$, обозначим как $S_b$. Его диаметр равен $b$.
$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$
3. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$, обозначим как $S_c$. Его диаметр равен $c$.
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Нам нужно доказать, что площадь полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах, то есть:
$S_c = S_a + S_b$

Подставим в это равенство полученные нами выражения для площадей:
$\frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

В правой части равенства вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:
$\frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi}{8} (a^2 + b^2)$

Теперь мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{\pi}{8}$:
$c^2 = a^2 + b^2$

Мы получили равенство, которое является математической записью теоремы Пифагора. Поскольку это равенство верно для любого прямоугольного треугольника, а все наши преобразования были равносильными, то и исходное утверждение о равенстве площадей также верно.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах.

1217 Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.

Чтобы найти площадь оставшейся части круга, нужно из общей площади круга вычесть площадь вырезанного сектора. Другой способ — найти градусную меру оставшейся части круга и вычислить её площадь как площадь сектора.

Решение первым способом:

1. Сначала найдем площадь всего круга. Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$, где $R$ — это радиус.
По условию задачи, радиус $R = 10$ см.
Подставляем значение в формулу:
$S_{круга} = \pi \cdot (10)^2 = 100\pi$ см$^2$.

2. Теперь найдем площадь вырезанного сектора. Формула площади сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — центральный угол сектора.
По условию, угол дуги сектора $\alpha = 60^\circ$.
Подставляем известные значения в формулу:
$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot (10)^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{100\pi \cdot 60}{360} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}$ см$^2$.

3. Наконец, найдем площадь оставшейся части круга, вычтя площадь сектора из общей площади круга:
$S_{ост} = S_{круга} - S_{сектора} = 100\pi - \frac{50\pi}{3}$.
Приведем к общему знаменателю 3:
$S_{ост} = \frac{3 \cdot 100\pi}{3} - \frac{50\pi}{3} = \frac{300\pi - 50\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$ см$^2$.

Решение вторым способом:

1. Найдем угловую меру оставшейся части круга. Полный круг составляет $360^\circ$.
$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

2. Найдем площадь оставшейся части как площадь сектора с углом $300^\circ$.
$S_{ост} = \frac{\pi R^2 \alpha_{ост}}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot (10)^2 \cdot 300^\circ}{360^\circ} = \frac{100\pi \cdot 300}{360} = 100\pi \cdot \frac{5}{6} = \frac{500\pi}{6} = \frac{250\pi}{3}$ см$^2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{250\pi}{3}$ см$^2$.