Страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1218 Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$ где $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол сектора в градусах.

Согласно условию задачи, площадь сектора равна $S$, а центральный угол $\alpha = 72^\circ$. Подставим известные значения в формулу: $S = \frac{\pi R^2 \cdot 72^\circ}{360^\circ}$

Для начала упростим дробь, представляющую собой отношение угла сектора к полному углу круга: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$

Подставив это значение обратно в формулу, получим: $S = \frac{\pi R^2}{5}$

Теперь нам нужно выразить радиус $R$ из этого уравнения. Для этого сначала выразим $R^2$. Умножим обе части уравнения на 5: $5S = \pi R^2$

Затем разделим обе части на $\pi$: $R^2 = \frac{5S}{\pi}$

Чтобы найти $R$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус не может быть отрицательной величиной, мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень: $R = \sqrt{\frac{5S}{\pi}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{5S}{\pi}}$

1219 Сторона квадрата, изображённого на рисунке 354, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность между площадью всего квадрата и площадью центральной незакрашенной (белой) фигуры.

1. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = a^2$

2. Анализ фигуры. Фигура на рисунке образована путем наложения четырех круговых секторов. Из каждой вершины квадрата как из центра проведен сектор (четверть круга) с радиусом, равным стороне квадрата $a$.

• Центральная белая фигура — это область пересечения всех четырех секторов.
• Каждая из четырех закрашенных угловых фигур — это область, принадлежащая ровно двум секторам.

3. Метод сложения площадей. Обозначим искомую площадь закрашенной фигуры как $S_{закр}$, а площадь белой фигуры — как $S_{бел}$. Сумма их площадей равна площади квадрата:

$S_{закр} + S_{бел} = a^2$ (1)

Площадь одного сектора (четверти круга радиусом $a$) равна $S_{сектора} = \frac{1}{4}\pi a^2$. Сумма площадей четырех таких секторов составляет:

$S_{4 \cdot сект} = 4 \times \frac{1}{4}\pi a^2 = \pi a^2$

При сложении площадей этих четырех секторов, каждая закрашенная область оказывается покрытой дважды, а центральная белая область — четырежды. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$2 \cdot S_{закр} + 4 \cdot S_{бел} = \pi a^2$ (2)

4. Решение системы уравнений. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее, чтобы найти $S_{закр}$.

Из уравнения (1) выразим $S_{бел}$:

$S_{бел} = a^2 - S_{закр}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$2S_{закр} + 4(a^2 - S_{закр}) = \pi a^2$

Раскроем скобки:

$2S_{закр} + 4a^2 - 4S_{закр} = \pi a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 2S_{закр} = \pi a^2$

Выразим $2S_{закр}$:

$2S_{закр} = 4a^2 - \pi a^2$

Наконец, найдем искомую площадь $S_{закр}$:

$S_{закр} = \frac{4a^2 - \pi a^2}{2} = a^2 \cdot \frac{4 - \pi}{2} = a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$

Ответ: $a^2\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$.

1220 Докажите, что площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с радианной мерой φ, вычисляется по формуле S = φR²2.

Для доказательства этой формулы мы можем использовать метод пропорций, основываясь на том, что площадь сектора прямо пропорциональна его центральному углу.

1. Площадь всего круга радиуса $R$ хорошо известна и вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.

2. Полный угол, который описывает весь круг, составляет $360$ градусов. В радианной мере этот угол равен $2\pi$ радиан.

3. Поскольку площадь сектора пропорциональна его углу, мы можем составить пропорцию: отношение площади сектора $S$ к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора $\phi$ (в радианах) к углу полного круга ($2\pi$ радиан).

Математически эта пропорция записывается так:

4. Теперь подставим в эту пропорцию выражение для площади круга $S_{круга} = \pi R^2$:

5. Чтобы найти площадь сектора $S$, выразим ее из полученного уравнения, умножив обе части на $\pi R^2$:

6. Сократим множитель $\pi$ в числителе и знаменателе правой части:

Таким образом, мы доказали, что площадь кругового сектора радиуса $R$ с центральным углом $\phi$ в радианах вычисляется по указанной формуле. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что площадь $S$ кругового сектора радиуса $R$, ограниченного дугой с радианной мерой $\phi$, вычисляется по формуле $S = \frac{\phi R^2}{2}$.

1 Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

Какой многоугольник называется правильным?

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Таким образом, правильный многоугольник является одновременно равносторонним и равноугольным.

Величина каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) вычисляется по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $

Ответ: Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Приведите примеры правильных многоугольников.

Для любого целого числа сторон $n$, начиная с 3, существует правильный $n$-угольник. Ниже приведены наиболее известные примеры.

• Правильный треугольник (также известный как равносторонний треугольник). У него 3 стороны, и каждый угол равен $60^\circ$.
• Правильный четырехугольник (более известный как квадрат). У него 4 стороны, и каждый угол равен $90^\circ$.
• Правильный пятиугольник (пентагон). У него 5 сторон, и каждый угол равен $108^\circ$.
• Правильный шестиугольник (гексагон). У него 6 сторон, и каждый угол равен $120^\circ$.
• Правильный восьмиугольник (октагон). У него 8 сторон, и каждый угол равен $135^\circ$.

Ответ: Примеры правильных многоугольников: равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник.

2 Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

Для вывода формулы для вычисления величины внутреннего угла правильного n-угольника существует несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Первый подход основан на известной теореме о сумме углов выпуклого многоугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника (где $n$ — число сторон) равна $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$. Это следует из того, что любой n-угольник можно разбить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Правильный n-угольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Следовательно, все его $n$ углов имеют одинаковую величину. Обозначим эту величину через $\alpha_n$. Чтобы найти значение одного угла, нужно общую сумму углов разделить на их количество:$\alpha_n = \frac{S_n}{n} = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$.

Второй подход использует центр описанной окружности правильного n-угольника. Если соединить центр со всеми вершинами, многоугольник разделится на $n$ равных равнобедренных треугольников. Угол при вершине каждого такого треугольника, расположенной в центре окружности, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Два других угла при основании этого треугольника равны между собой, и их сумма составляет $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$. Следовательно, каждый угол при основании равен $\frac{1}{2}\left(180^\circ - \frac{360^\circ}{n}\right) = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n}$. Внутренний угол правильного n-угольника $\alpha_n$ складывается из двух таких углов при основании смежных треугольников. Таким образом, получаем:$\alpha_n = 2 \cdot \left(90^\circ - \frac{180^\circ}{n}\right) = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$.

Обе полученные формулы эквивалентны и позволяют вычислить угол правильного n-угольника при $n \ge 3$.

Ответ: $\alpha_n = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$ или $\alpha_n = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$.

3 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство теоремы можно разделить на две части: доказательство существования описанной окружности и доказательство ее единственности.

1. Существование.

Пусть дан правильный $n$-угольник $A_1A_2...A_n$. По определению, у него все стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$) и все внутренние углы равны ($\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$).

Рассмотрим три последовательные вершины многоугольника: $A_1, A_2, A_3$. Поскольку для $n \ge 3$ эти точки не лежат на одной прямой, через них можно провести окружность, и притом только одну. Пусть O — центр этой окружности. По определению, точка O равноудалена от этих трех вершин: $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$. В этих треугольниках сторона $OA_2$ — общая, $OA_1 = OA_3$ (поскольку оба отрезка равны $OA_2$), и $A_1A_2 = A_2A_3$ (как стороны правильного многоугольника). Следовательно, $\triangle OA_1A_2 \cong \triangle OA_2A_3$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$. Это означает, что луч $OA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_2$ многоугольника. Также из равенства треугольников следует, что $\angle OA_3A_2 = \angle OA_1A_2$.

Теперь докажем, что следующая вершина, $A_4$, также лежит на этой окружности, то есть что $OA_4$ равно радиусу окружности (например, $OA_3$). Для этого сравним треугольники $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$. В них: сторона $A_2A_3$ равна стороне $A_3A_4$ (как стороны правильного многоугольника), сторона $OA_3$ — общая. Рассмотрим углы $\angle OA_3A_2$ и $\angle OA_3A_4$. Углы многоугольника $\angle A_2$ и $\angle A_3$ равны. Из равнобедренного треугольника $\triangle OA_2A_3$ ($OA_2=OA_3$) следует, что $\angle OA_3A_2 = \angle OA_2A_3$. А так как $OA_2$ — биссектриса $\angle A_2$, то $\angle OA_2A_3 = \frac{1}{2}\angle A_2$. Значит, $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_2 = \frac{1}{2}\angle A_3$. Это доказывает, что $OA_3$ — биссектриса угла $\angle A_3$, а значит $\angle OA_3A_2 = \angle OA_3A_4$. Таким образом, треугольники $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$ равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle OA_2A_3 \cong \triangle OA_3A_4$ следует, что $OA_4 = OA_2$. Но так как $OA_1 = OA_2 = OA_3$, то и $OA_4$ равно им. Таким образом, вершина $A_4$ лежит на той же окружности.

Проводя аналогичные рассуждения последовательно для всех вершин ($A_5, A_6, ..., A_n$), мы докажем, что все они равноудалены от точки O. Следовательно, все вершины правильного многоугольника лежат на окружности с центром O, что и доказывает существование описанной окружности.

2. Единственность.

Предположим, что существует другая окружность, описанная около того же многоугольника $A_1A_2...A_n$. По определению, она также должна проходить через все его вершины, в том числе через $A_1, A_2$ и $A_3$. Как известно, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность. Следовательно, любая описанная окружность должна совпадать с той, что мы построили. Это доказывает ее единственность.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема гласит, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Существование такой окружности доказывается путем построения окружности по трем вершинам и последовательного доказательства того, что все остальные вершины также лежат на этой окружности. Единственность следует из того, что положение окружности однозначно определяется любыми тремя ее точками (вершинами многоугольника).

4 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Формулировка теоремы

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника и совпадает с центром описанной окружности.

Доказательство

Пусть дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. По определению, у него все стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$) и все углы равны ($\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$). Доказательство состоит из трех частей: доказательство существования центра, доказательство существования вписанной окружности и доказательство ее единственности.

1. Существование центра многоугольника

Проведем биссектрисы двух соседних углов $\angle A_1$ и $\angle A_2$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$. Так как $O$ лежит на биссектрисах, то $\angle OA_1A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$ и $\angle OA_2A_1 = \frac{1}{2}\angle A_2$. Поскольку в правильном многоугольнике $\angle A_1 = \angle A_2$, то и половины этих углов равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$.

Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ является равнобедренным с основанием $A_1A_2$, и его боковые стороны равны: $OA_1 = OA_2$.

Теперь соединим точку $O$ с вершиной $A_3$ и сравним треугольники $\triangle A_1OA_2$ и $\triangle A_3OA_2$.

1) $A_1A_2 = A_3A_2$ (как стороны правильного многоугольника).
2) $OA_2$ — общая сторона.
3) $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$, так как по построению луч $A_2O$ является биссектрисой угла $\angle A_1A_2A_3$ (или $\angle A_2$).

Таким образом, $\triangle A_1OA_2 \cong \triangle A_3OA_2$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $OA_1 = OA_3$ и $\angle OA_1A_2 = \angle OA_3A_2$.

Так как мы уже доказали, что $OA_1 = OA_2$, то теперь имеем $OA_1 = OA_2 = OA_3$. Также, поскольку $\angle OA_1A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$, то и $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1$. А так как в правильном многоугольнике $\angle A_1 = \angle A_3$, то $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_3$. Это означает, что луч $A_3O$ является биссектрисой угла $\angle A_3$.

Повторяя это рассуждение для следующих вершин ($A_4, A_5, ..., A_n$), мы докажем, что все биссектрисы углов многоугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка $O$ называется центром правильного многоугольника.

2. Существование вписанной окружности

Мы установили, что точка $O$ является общей точкой для всех биссектрис углов многоугольника. По свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон угла. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_1$, она равноудалена от сторон $A_nA_1$ и $A_1A_2$. Так как она лежит на биссектрисе угла $\angle A_2$, она равноудалена от сторон $A_1A_2$ и $A_2A_3$, и так далее.

Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OH_1, OH_2, ..., OH_n$ на стороны $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. Длины этих перпендикуляров равны: $OH_1 = OH_2 = ... = OH_n$.

Обозначим это расстояние через $r$. Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ будет касаться всех сторон многоугольника в точках $H_1, H_2, ..., H_n$. По определению, эта окружность является вписанной в многоугольник.

3. Единственность

Предположим, что существует другая вписанная окружность. Ее центр должен быть равноудален от всех сторон многоугольника. Точки, равноудаленные от двух пересекающихся прямых (сторон угла), лежат на биссектрисе этого угла. Следовательно, центр любой вписанной окружности должен лежать на биссектрисе каждого угла многоугольника. Так как все биссектрисы пересекаются в единственной точке $O$, то центр вписанной окружности может быть только в этой точке. Радиус вписанной окружности однозначно определяется как расстояние от точки $O$ до любой из сторон многоугольника. Таким образом, вписанная окружность единственна.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник, гласит: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём сделать это можно единственным образом. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника.

5 Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

5 Рассмотрим правильный n-угольник. Его можно разбить на n равных равнобедренных треугольников, соединив центр многоугольника с его вершинами. Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной в него окружности.

Основанием каждого из этих треугольников является сторона многоугольника. Обозначим длину стороны как $a$.

Высота каждого треугольника, проведенная из центра к стороне, является радиусом вписанной окружности. Обозначим этот радиус как $r$. Эта высота перпендикулярна стороне многоугольника (основанию треугольника), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле площади треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

Поскольку правильный n-угольник состоит из n таких равных треугольников, его общая площадь ($S$) равна сумме площадей этих треугольников: $S = n \cdot S_{\triangle} = n \cdot \left(\frac{1}{2} a \cdot r\right) = \frac{1}{2} (n \cdot a) \cdot r$

Периметр ($P$) правильного n-угольника — это сумма длин всех его сторон. Так как все $n$ сторон равны $a$, периметр вычисляется как: $P = n \cdot a$

Теперь подставим выражение для периметра $P$ в полученную формулу для площади многоугольника $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$

Таким образом, площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: $S = \frac{1}{2}Pr$, где $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — его периметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

6 Выведите формулы для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.

Для вывода искомых формул рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность. Введем следующие обозначения:
$R$ – радиус описанной окружности;
$r_n$ – радиус вписанной окружности;
$a_n$ – длина стороны правильного n-угольника;
$n$ – число сторон многоугольника.

Соединим центр окружности $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника, $A$ и $B$. В результате образуется равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором боковые стороны $OA = OB = R$, а основание $AB = a_n$. Центральный угол $\angle AOB$, который опирается на сторону $a_n$, вычисляется как $\frac{360^\circ}{n}$.

Чтобы найти длину стороны $a_n$, проведем в треугольнике $\triangle AOB$ высоту $OH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $H$ – середина стороны $AB$ (то есть $AH = \frac{a_n}{2}$), и $OH$ делит угол $\angle AOB$ пополам (то есть $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{n} = \frac{180^\circ}{n}$).Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. По определению синуса, $\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA}$.Подставив известные величины, получим:$\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{a_n/2}{R}$.Теперь выразим $a_n$ из этого уравнения:$\frac{a_n}{2} = R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$,откуда следует, что $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Ответ: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Радиус $r_n$ вписанной в правильный n-угольник окружности равен апофеме многоугольника, то есть длине перпендикуляра, опущенного из его центра на сторону. В нашей конструкции это как раз длина высоты $OH$.Снова обратимся к прямоугольному треугольнику $\triangle OHA$. В нем катет $OH$ и есть искомый радиус $r_n$.По определению косинуса, $\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA}$.Подставим известные величины:$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r_n}{R}$.Отсюда выражаем $r_n$:$r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Ответ: $r_n = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

7 Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?

Для нахождения стороны правильного n-угольника ($a_n$), вписанного в окружность радиуса $R$, используется общая формула, которая выводится из рассмотрения равнобедренного треугольника с вершиной в центре окружности и основанием, равным стороне многоугольника. Центральный угол этого треугольника равен $\frac{360^\circ}{n}$. Формула для стороны имеет вид:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Применим эту формулу для каждого из заданных многоугольников.

Правильный треугольник

Для правильного треугольника (равностороннего) число сторон $n=3$. Подставляем это значение в общую формулу:

$a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса 60 градусов равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

$a_3 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Следовательно, сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как $R\sqrt{3}$.

Ответ: $a_3 = R\sqrt{3}$

Квадрат

Для квадрата число сторон $n=4$. Подставляем $n=4$ в формулу:

$a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ)$

Значение синуса 45 градусов равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем:

$a_4 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$

Этот результат можно также получить, заметив, что диагональ вписанного квадрата равна диаметру описанной окружности, то есть $d = 2R$. С другой стороны, по теореме Пифагора, диагональ квадрата со стороной $a_4$ равна $d = a_4\sqrt{2}$. Приравнивая выражения для диагонали, получаем $a_4\sqrt{2} = 2R$, откуда $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Ответ: $a_4 = R\sqrt{2}$

Правильный шестиугольник

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$. Подставляем $n=6$ в формулу:

$a_6 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2R \sin(30^\circ)$

Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$. Тогда сторона шестиугольника равна:

$a_6 = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Это означает, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, всегда равна радиусу этой окружности. Это следует из того, что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу $R$, а их основания являются сторонами шестиугольника.

Ответ: $a_6 = R$

8 Выведите формулу для вычисления длины окружности, используя её градусную меру.

Для вывода формулы длины окружности, используя ее градусную меру, будем исходить из того, что длина дуги окружности прямо пропорциональна ее градусной мере. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$.

Запишем известную формулу для вычисления длины дуги $l$, которой соответствует центральный угол $\alpha$ (измеряемый в градусах), для окружности радиусом $R$:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Используя эту формулу, найдем длину дуги, которая соответствует углу в $1^\circ$. Для этого подставим в формулу значение $\alpha = 1^\circ$:

$l_{1^\circ} = \frac{\pi R \cdot 1^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi R}{180}$

Поскольку полная окружность имеет градусную меру $360^\circ$, ее длина $C$ будет равна длине дуги в $1^\circ$, умноженной на 360:

$C = 360 \cdot l_{1^\circ}$

Теперь подставим в это выражение найденное значение для $l_{1^\circ}$:

$C = 360 \cdot \frac{\pi R}{180}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$C = \frac{360}{180} \cdot \pi R$

$C = 2 \pi R$

Таким образом, мы получили стандартную формулу для вычисления длины окружности. Эта формула была выведена с использованием градусной меры полной окружности ($360^\circ$), показав, что длина окружности является частным случаем длины дуги при угле, равном $360^\circ$.

Ответ: Формула для вычисления длины окружности $C$ радиусом $R$, выведенная с использованием ее градусной меры, имеет вид $C = 2 \pi R$.

9 Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение.

Какое число обозначается буквой ?

Буквой $\pi$ (произносится «пи») в математике и физике обозначается фундаментальная математическая константа. Она выражает отношение длины окружности к её диаметру. Это означает, что если для любой окружности измерить её длину (периметр) $C$ и разделить на её диаметр $d$, то результат всегда будет одним и тем же числом.

Это соотношение записывается формулой: $\pi = \frac{C}{d}$

Число $\pi$ является иррациональным. Это значит, что его невозможно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью: $3,1415926535...$ и так далее до бесконечности, без повторяющихся последовательностей цифр.

Ответ: Буквой $\pi$ обозначается математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру.

Чему равно его приближённое значение

Поскольку точное значение числа $\pi$ записать невозможно из-за его иррациональности, на практике всегда используют его приближённые значения. Точность приближения зависит от требований конкретной задачи.

Наиболее часто используемые приближённые значения числа $\pi$:

• В большинстве школьных задач и несложных расчётов используется значение, округлённое до сотых: $\pi \approx 3,14$.
• Для более точных инженерных или научных вычислений могут использоваться значения с большим количеством знаков после запятой, например: $\pi \approx 3,14159$.
• Исторически важным и достаточно удобным является приближение в виде обыкновенной дроби, которое было предложено ещё Архимедом: $\pi \approx \frac{22}{7}$. Это значение даёт $\approx 3,142857...$, что является хорошим приближением.

Ответ: Наиболее распространённое приближённое значение числа $\pi$, используемое для большинства расчётов, равно 3,14.

10 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её градусную меру.

Чтобы вывести формулу для вычисления длины дуги окружности, исходя из её градусной меры, будем рассуждать следующим образом.

Длина всей окружности радиуса $R$ известна и вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Полная окружность соответствует центральному углу, равному $360^\circ$.

Длина дуги окружности прямо пропорциональна её градусной мере. Это означает, что какую долю составляет градусная мера дуги от $360^\circ$, такую же долю составляет длина этой дуги от длины всей окружности.

Пусть $l$ — искомая длина дуги, а $\alpha$ — её градусная мера. Составим пропорцию, исходя из вышесказанного:

$\frac{l}{C} = \frac{\alpha}{360}$

Из этой пропорции выразим длину дуги $l$:

$l = C \cdot \frac{\alpha}{360}$

Теперь подставим в это равенство формулу длины окружности $C = 2\pi R$:

$l = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360}$

Сократим дробь на 2, чтобы упростить выражение:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180}$

Это и есть искомая формула для вычисления длины дуги окружности по её градусной мере.

Ответ: Формула для вычисления длины дуги окружности: $l = \frac{\pi R \alpha}{180}$, где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

11 Какой угол называется углом в 1 радиан?

Радиан — это стандартная единица измерения плоских углов, широко используемая в математике, физике и инженерии. Определение радиана основано на свойствах окружности.

Углом в 1 радиан называется центральный угол, который опирается на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Чтобы лучше это представить, рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом r. Возьмем на окружности дугу AB. Если длина этой дуги l равна радиусу r (т.е. $l = r$), то величина центрального угла AOB, который опирается на эту дугу, по определению равна одному радиану.

В общем случае, радианная мера любого центрального угла $\alpha$ определяется как отношение длины дуги $l$, на которую он опирается, к радиусу окружности $r$:

$\alpha_{\text{рад}} = \frac{l}{r}$

Из этой формулы следует, что если $l = r$, то $\alpha = \frac{r}{r} = 1$ радиан. Так как и длина дуги, и радиус измеряются в одних и тех же единицах длины (например, метрах), радиан является безразмерной величиной.

Для установления связи между радианами и градусами, вспомним, что длина всей окружности равна $C = 2\pi r$. Полный угол в $360^\circ$ опирается на всю окружность. Его радианная мера равна:

$\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ радиан

Таким образом, мы имеем фундаментальное соотношение:

$360^\circ = 2\pi$ радиан

Разделив обе части на 2, получим более удобное для запоминания равенство:

$180^\circ = \pi$ радиан

Из этого соотношения можно найти приближенное значение одного радиана в градусах:

$1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{3.14159} \approx 57.2958^\circ$ или примерно $57^\circ17'45''$.

Ответ: Углом в 1 радиан называется центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

12 Объясните, как связаны градусная и радианная меры одного и того же угла.

Градусная и радианная меры являются двумя различными единицами измерения углов. Их связь основана на соотнесении с полной окружностью.

Определение градусной меры

Градусная мера основана на делении полной окружности на 360 равных частей. Одна такая часть принимается за единицу измерения и называется градусом ($1^\circ$). Таким образом, полный оборот составляет $360^\circ$, а развернутый угол — $180^\circ$.

Определение радианной меры

Радианная мера связана с длиной дуги окружности. 1 радиан — это величина центрального угла, для которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу этой окружности. Длина всей окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — это радиус. Чтобы найти, сколько радиан в полной окружности, нужно разделить длину окружности на ее радиус: $\frac{2\pi R}{R} = 2\pi$. Следовательно, полный угол равен $2\pi$ радиан.

Установление связи

Поскольку полный угол в градусах равен $360^\circ$, а в радианах — $2\pi$, мы можем установить прямое соотношение:

$360^\circ = 2\pi \text{ радиан}$

Обычно это равенство сокращают, деля обе части на 2, и получают основную формулу, связывающую градусы и радианы:

$180^\circ = \pi \text{ радиан}$

Формулы для перевода

Из основного соотношения $180^\circ = \pi$ радиан можно вывести формулы для пересчета из одной меры в другую:

1. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно его величину ($\alpha^\circ$) умножить на множитель $\frac{\pi}{180}$:
   $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$
   Пример: $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
2. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно его величину ($\beta_{рад}$) умножить на множитель $\frac{180}{\pi}$:
   $\beta^\circ = \beta_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
   Пример: $\frac{\pi}{2}$ радиан $= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ$.

Также из основного соотношения можно выразить величину одного градуса и одного радиана:

$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан (приблизительно 0,01745 радиан)

$1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$ (приблизительно $57.3^\circ$)

Ответ: Градусная и радианная меры связаны основным соотношением $180^\circ = \pi$ радиан, которое следует из того, что полный угол равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Для перевода величины угла из градусов в радианы ее нужно умножить на $\frac{\pi}{180}$, а для обратного перевода из радиан в градусы — умножить на $\frac{180}{\pi}$.

13 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её радианную меру.

Для вывода формулы длины дуги окружности воспользуемся определением радианной меры угла.

Определение радиана: Угол в 1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Пусть у нас есть окружность радиуса $R$.

Согласно определению, центральный угол $\alpha = 1$ радиан опирается на дугу, длина которой $L = R$.

Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине её центрального угла. Это означает, что если мы увеличим угол в несколько раз, то и длина дуги, на которую он опирается, увеличится во столько же раз.

Следовательно, для произвольного центрального угла, выраженного в радианах и равного $\alpha$, длина соответствующей ему дуги $L$ будет в $\alpha$ раз больше, чем длина дуги для угла в 1 радиан (которая равна $R$).

Таким образом, мы можем записать математическое соотношение:

$L = \alpha \cdot R$

Где:

• $L$ — длина дуги окружности,
• $R$ — радиус окружности,
• $\alpha$ — величина центрального угла, опирающегося на дугу, выраженная в радианах.

Проверим эту формулу для всей окружности. Длина всей окружности известна и равна $C = 2\pi R$. Полный угол окружности в радианах равен $2\pi$. Подставив $\alpha = 2\pi$ в нашу формулу, получим:

$L = (2\pi) \cdot R = 2\pi R$

Результат совпал с известной формулой длины окружности, что подтверждает правильность вывода.

Ответ: Формула для вычисления длины дуги окружности через её радианную меру имеет вид $L = \alpha \cdot R$, где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол в радианах, стягивающий эту дугу.

14 Выведите формулу для вычисления площади круга.

Существует несколько способов вывода формулы для вычисления площади круга. Рассмотрим два из них: один геометрический и наглядный, а другой — с помощью методов математического анализа.

Метод 1: Разрезание круга на секторы

Этот метод основан на идее представления круга как совокупности большого числа секторов.

1. Возьмем круг радиуса $R$. Длина его окружности, как известно, вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
2. Разделим этот круг на большое число $n$ равных секторов. Каждый сектор будет похож на узкий треугольник с основанием в виде дуги и высотой, равной радиусу круга $R$.
3. Теперь расположим эти секторы в один ряд, чередуя их: один острием вверх, следующий — острием вниз. В результате мы получим фигуру, очень похожую на параллелограмм (или, при очень большом $n$, на прямоугольник).
4. Проанализируем размеры полученной фигуры:
   • Высота этой фигуры будет равна радиусу круга $R$, так как боковые стороны секторов являются радиусами.
   • Длина основания фигуры будет состоять из дуг половины секторов (вторая половина дуг образует верхнюю сторону). Таким образом, длина основания будет равна половине длины окружности исходного круга:
     $L_{основания} = \frac{C}{2} = \frac{2\pi R}{2} = \pi R$.
5. Чем больше секторов $n$ мы берем, тем точнее наша фигура будет соответствовать прямоугольнику. Площадь этого прямоугольника равна произведению его высоты на длину основания. Так как площадь этой фигуры равна площади исходного круга, получаем:
   $S = \text{высота} \times \text{основание} = R \times (\pi R) = \pi R^2$.

Метод 2: С помощью интегрального исчисления

Этот метод является более строгим с математической точки зрения. Представим круг как совокупность бесконечного числа очень тонких концентрических колец.

1. Рассмотрим одно такое кольцо, находящееся на расстоянии $r$ от центра, где $0 \le r \le R$. Пусть его толщина будет бесконечно малой величиной $dr$.
2. Длина этого кольца (его окружность) равна $2\pi r$. Если мы "разрежем" и "распрямим" это кольцо, мы получим очень узкий прямоугольник длиной $2\pi r$ и шириной $dr$.
3. Площадь этого бесконечно тонкого кольца (дифференциал площади) $dS$ будет равна:
   $dS = 2\pi r \, dr$.
4. Чтобы найти общую площадь круга $S$, нужно "сложить" (проинтегрировать) площади всех таких колец, от центра ($r=0$) до края круга ($r=R$):
   $S = \int_{0}^{R} dS = \int_{0}^{R} 2\pi r \, dr$.
5. Вычислим этот определенный интеграл:
   $S = 2\pi \int_{0}^{R} r \, dr = 2\pi \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = 2\pi \left( \frac{R^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2$.

Оба метода приводят к одной и той же формуле.

Ответ: Формула для вычисления площади круга радиуса $R$ имеет вид $S = \pi R^2$.