Номер 10, страница 310 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 13. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 10, страница 310.

10 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её градусную меру.

Чтобы вывести формулу для вычисления длины дуги окружности, исходя из её градусной меры, будем рассуждать следующим образом.

Длина всей окружности радиуса $R$ известна и вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Полная окружность соответствует центральному углу, равному $360^\circ$.

Длина дуги окружности прямо пропорциональна её градусной мере. Это означает, что какую долю составляет градусная мера дуги от $360^\circ$, такую же долю составляет длина этой дуги от длины всей окружности.

Пусть $l$ — искомая длина дуги, а $\alpha$ — её градусная мера. Составим пропорцию, исходя из вышесказанного:

$\frac{l}{C} = \frac{\alpha}{360}$

Из этой пропорции выразим длину дуги $l$:

$l = C \cdot \frac{\alpha}{360}$

Теперь подставим в это равенство формулу длины окружности $C = 2\pi R$:

$l = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360}$

Сократим дробь на 2, чтобы упростить выражение:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180}$

Это и есть искомая формула для вычисления длины дуги окружности по её градусной мере.

Ответ: Формула для вычисления длины дуги окружности: $l = \frac{\pi R \alpha}{180}$, где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.