Номер 16, страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Вопросы для повторения к главе 13 - номер 16, страница 311.

Условие.

16 Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Что такое круговой сегмент?

Круговой сегмент — это часть круга, которая ограничена дугой окружности и стягивающей её хордой. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Можно представить, что круг — это пицца. Если отрезать кусок, проведя прямую линию не через центр, а сбоку, то этот отрезанный кусок и будет круговым сегментом. Каждая хорда (если она не является диаметром) делит круг на два сегмента:

• Малый сегмент — тот, чья дуга меньше полуокружности.
• Большой сегмент — тот, чья дуга больше полуокружности.

Если хорда является диаметром, она делит круг на два равных сегмента, которые называются полукругами.

Ответ: Круговой сегмент — это плоская фигура, представляющая собой часть круга, ограниченную дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Объясните, как можно вычислить его площадь.

Площадь кругового сегмента вычисляется через площади двух других фигур: кругового сектора и треугольника. Этот метод особенно нагляден для малого сегмента (чья площадь меньше площади полукруга).

Алгоритм вычисления:

1. Находим площадь кругового сектора.

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними (похож на кусок пиццы). Площадь сектора ($S_{сектора}$) с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах), который соответствует дуге нашего сегмента, вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

2. Находим площадь треугольника.

Этот треугольник образован двумя радиусами ($R$) и хордой сегмента. Он является равнобедренным, а угол между радиусами равен центральному углу $\alpha$. Его площадь ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$

3. Вычисляем площадь сегмента.

Площадь малого сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника.

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Подставляя формулы из шагов 1 и 2, получаем общую формулу для площади кругового сегмента:

$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$

Можно вынести общий множитель $R^2$ для удобства:

$S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin\alpha}{2} \right)$

Если же нужно найти площадь большого сегмента, то самый простой способ — это найти площадь всего круга ($S_{круга} = \pi R^2$) и вычесть из неё площадь малого сегмента, который отсечен той же хордой.

Ответ: Площадь кругового сегмента вычисляется как разность между площадью соответствующего кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами и хордой. Итоговая формула для сегмента с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$: $S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$.