Страница 311 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

15 Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

Что такое круговой сектор?

Круговой сектор — это часть круга, которая ограничена двумя его радиусами и дугой между этими радиусами. Если представить круг как пиццу, то один кусок пиццы является наглядным примером кругового сектора. Два прямых разреза — это радиусы, а внешняя часть с корочкой — это дуга. Угол, образованный двумя радиусами в центре круга, называется центральным углом сектора.

Ответ: Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, которые соединяют концы этой дуги с центром круга.

Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

Вывод формулы для площади кругового сектора основан на том, что его площадь прямо пропорциональна величине его центрального угла. Мы можем использовать площадь всего круга как отправную точку.

Площадь всего круга с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Полный круг соответствует центральному углу в $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.

1. Вывод формулы, если угол задан в градусах.

Сначала найдем площадь сектора, который соответствует центральному углу в $1^\circ$. Эта площадь будет составлять $\frac{1}{360}$ от общей площади круга: $S_{1^\circ} = \frac{S_{круга}}{360} = \frac{\pi R^2}{360}$.

Соответственно, площадь сектора с центральным углом $\alpha$, измеряемым в градусах, будет в $\alpha$ раз больше площади сектора в $1^\circ$: $S_{сектора} = S_{1^\circ} \cdot \alpha = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha$.

2. Вывод формулы, если угол задан в радианах.

Аналогично, если центральный угол $\alpha$ измеряется в радианах, мы знаем, что полный угол круга равен $2\pi$ радиан. Найдем площадь сектора, соответствующего углу в 1 радиан, разделив общую площадь на $2\pi$: $S_{1\text{ рад}} = \frac{S_{круга}}{2\pi} = \frac{\pi R^2}{2\pi} = \frac{R^2}{2}$.

Тогда площадь сектора с центральным углом $\alpha$ в радианах вычисляется как: $S_{сектора} = S_{1\text{ рад}} \cdot \alpha = \frac{R^2}{2} \cdot \alpha = \frac{1}{2}\alpha R^2$.

3. Вывод формулы через длину дуги.

Существует также полезная формула, которая связывает площадь сектора с длиной его дуги $L$. Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ определяется как $L = \alpha R$. Из этой формулы мы можем выразить угол: $\alpha = \frac{L}{R}$. Теперь подставим это выражение для $\alpha$ в радианную формулу для площади: $S_{сектора} = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{L}{R}\right) R^2 = \frac{1}{2}LR$.

Ответ: Формулы для вычисления площади $S$ кругового сектора с радиусом $R$:
- если центральный угол $\alpha$ дан в градусах: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$
- если центральный угол $\alpha$ дан в радианах: $S = \frac{1}{2} \alpha R^2$
- если известна длина дуги $L$: $S = \frac{1}{2}LR$

16 Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

Что такое круговой сегмент?

Круговой сегмент — это часть круга, которая ограничена дугой окружности и стягивающей её хордой. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Можно представить, что круг — это пицца. Если отрезать кусок, проведя прямую линию не через центр, а сбоку, то этот отрезанный кусок и будет круговым сегментом. Каждая хорда (если она не является диаметром) делит круг на два сегмента:

• Малый сегмент — тот, чья дуга меньше полуокружности.
• Большой сегмент — тот, чья дуга больше полуокружности.

Если хорда является диаметром, она делит круг на два равных сегмента, которые называются полукругами.

Ответ: Круговой сегмент — это плоская фигура, представляющая собой часть круга, ограниченную дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Объясните, как можно вычислить его площадь.

Площадь кругового сегмента вычисляется через площади двух других фигур: кругового сектора и треугольника. Этот метод особенно нагляден для малого сегмента (чья площадь меньше площади полукруга).

Алгоритм вычисления:

1. Находим площадь кругового сектора.

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними (похож на кусок пиццы). Площадь сектора ($S_{сектора}$) с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах), который соответствует дуге нашего сегмента, вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

2. Находим площадь треугольника.

Этот треугольник образован двумя радиусами ($R$) и хордой сегмента. Он является равнобедренным, а угол между радиусами равен центральному углу $\alpha$. Его площадь ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$

3. Вычисляем площадь сегмента.

Площадь малого сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника.

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Подставляя формулы из шагов 1 и 2, получаем общую формулу для площади кругового сегмента:

$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$

Можно вынести общий множитель $R^2$ для удобства:

$S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin\alpha}{2} \right)$

Если же нужно найти площадь большого сегмента, то самый простой способ — это найти площадь всего круга ($S_{круга} = \pi R^2$) и вычесть из неё площадь малого сегмента, который отсечен той же хордой.

Ответ: Площадь кругового сегмента вычисляется как разность между площадью соответствующего кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами и хордой. Итоговая формула для сегмента с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$: $S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$.

1221 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника используется свойство его внешних углов. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

В правильном многоугольнике все стороны и все внутренние углы равны, следовательно, все внешние углы также равны между собой. Если обозначить количество сторон многоугольника как $n$, а величину одного внешнего угла как $\alpha$, то для нахождения числа сторон можно использовать формулу:

$n = \frac{360^\circ}{\alpha}$

Применим эту формулу для каждого из указанных случаев.

а) Если один из внешних углов равен $18^\circ$.

Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20$

Таким образом, многоугольник имеет 20 сторон.

Ответ: 20.

б) Если один из внешних углов равен $40^\circ$.

Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$

Таким образом, многоугольник имеет 9 сторон.

Ответ: 9.

в) Если один из внешних углов равен $72^\circ$.

Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$

Таким образом, многоугольник имеет 5 сторон.

Ответ: 5.

г) Если один из внешних углов равен $60^\circ$.

Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$

Таким образом, многоугольник имеет 6 сторон.

Ответ: 6.

1222 На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Пусть $a_т$ — сторона правильного треугольника, а $R_т$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи, $R_т = 3$ дм.

Связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной окружности задается формулой:
$a_т = R_т \sqrt{3}$

Подставим известное значение радиуса, чтобы найти сторону треугольника:
$a_т = 3 \sqrt{3}$ дм.

По условию, на стороне треугольника построен квадрат. Следовательно, сторона квадрата, $a_к$, равна стороне треугольника:
$a_к = a_т = 3 \sqrt{3}$ дм.

Теперь найдем радиус окружности, описанной около квадрата, который мы обозначим как $R_к$. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d_к$.

Диагональ квадрата можно найти по формуле, которая следует из теоремы Пифагора:
$d_к = a_к \sqrt{2}$

Вычислим диагональ нашего квадрата:
$d_к = (3 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}$ дм.

Радиус $R_к$ равен половине диагонали:
$R_к = \frac{d_к}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ дм.

1223 Найдите периметр правильного шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆, если A₁A₄ = 2,24 см.

Пусть $a$ — длина стороны правильного шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Периметр $P$ такого шестиугольника равен сумме длин всех его сторон, и так как все стороны равны, формула для периметра имеет вид: $P = 6a$

Особенностью правильного шестиугольника является то, что его можно вписать в окружность, и радиус $R$ этой описанной окружности будет равен длине его стороны: $a = R$

Диагональ $A_1A_4$ соединяет противоположные вершины шестиугольника. Такая диагональ называется большой диагональю и проходит через центр описанной окружности. Ее длина равна диаметру этой окружности, то есть двум радиусам: $A_1A_4 = 2R$

По условию задачи нам дано, что $A_1A_4 = 2,24$ см. Используя эту информацию, мы можем найти радиус описанной окружности: $2R = 2,24$ см $R = \frac{2,24}{2} = 1,12$ см

Поскольку сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности ($a=R$), мы находим длину стороны: $a = 1,12$ см

Теперь мы можем вычислить периметр шестиугольника, подставив найденное значение стороны в формулу периметра: $P = 6a = 6 \times 1,12 = 6,72$ см

Ответ: 6,72 см.

1224 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

а) вписанных в одну и ту же окружность

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и квадрат.
Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R$, находится по формуле:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Периметр правильного треугольника ($P_3$) равен:
$P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$
Сторона квадрата ($a_4$), вписанного в ту же окружность, находится по формуле:
$a_4 = R\sqrt{2}$
Периметр квадрата ($P_4$) равен:
$P_4 = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$
Теперь найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{3R\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{6}}{8}$.

б) описанных около одной и той же окружности

Пусть $r$ — радиус окружности, около которой описаны правильный треугольник и квадрат.
Сторона правильного треугольника ($a_3$), описанного около окружности радиуса $r$, находится по формуле:
$a_3 = 2r\sqrt{3}$
Периметр этого треугольника ($P_3$) равен:
$P_3 = 3a_3 = 3 \cdot 2r\sqrt{3} = 6r\sqrt{3}$
Сторона квадрата ($a_4$), описанного около той же окружности, равна диаметру этой окружности:
$a_4 = 2r$
Периметр этого квадрата ($P_4$) равен:
$P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 2r = 8r$
Теперь найдем отношение периметра треугольника к периметру квадрата:
$\frac{P_3}{P_4} = \frac{6r\sqrt{3}}{8r} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

1225 Диагонали А₁А₆ и A₂A₉ правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке B (рис. 355). Докажите, что:

а) треугольники A₁A₂B и A₆A₉B равносторонние;

б) А₁А₆ = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

а)

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$, вписанный в окружность. Все его вершины лежат на этой окружности. Угловая мера дуги, стягиваемой каждой стороной правильного двенадцатиугольника, равна $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Величина вписанного угла измеряется половиной угловой меры дуги, на которую он опирается.

Найдем углы треугольника $A_1A_2B$.

Угол $\angle A_2A_1B$, который совпадает с углом $\angle A_2A_1A_6$, является вписанным и опирается на дугу $A_2A_6$. Эта дуга состоит из 4-х равных дуг ($A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6$), поэтому ее угловая мера равна $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle A_2A_1B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Угол $\angle A_1A_2B$, который совпадает с углом $\angle A_1A_2A_9$, является вписанным и опирается на дугу $A_9A_1$. Эта дуга (меньшая из двух) состоит из 4-х равных дуг ($A_9A_{10}, A_{10}A_{11}, A_{11}A_{12}, A_{12}A_1$), поэтому ее угловая мера также равна $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle A_1A_2B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $A_1A_2B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle A_1BA_2$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $A_1A_2B$ является равносторонним.

Теперь рассмотрим треугольник $A_6A_9B$.

Углы $\angle A_1BA_2$ и $\angle A_6BA_9$ являются вертикальными, следовательно, они равны. $\angle A_6BA_9 = \angle A_1BA_2 = 60^\circ$.

Угол $\angle BA_6A_9$, который совпадает с углом $\angle A_1A_6A_9$, является вписанным и опирается на дугу $A_1A_9$ (или, точнее, дугу $A_9A_1$), угловая мера которой, как мы выяснили, составляет $120^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BA_6A_9 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $A_6A_9B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BA_9A_6$ также равен $60^\circ$. Таким образом, треугольник $A_6A_9B$ является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $A_1A_2B$ и $A_6A_9B$ являются равносторонними.

б)

Пусть $R$ — радиус описанной около двенадцатиугольника окружности, а $r$ — радиус вписанной в него окружности (который также является апофемой многоугольника). Центр $O$ у обеих окружностей общий.

Радиус вписанной окружности $r$ можно выразить через радиус описанной окружности $R$. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_2$, где $OA_1 = OA_2 = R$. Угол при вершине $\angle A_1OA_2$ равен $30^\circ$. Апофема $r$ — это высота этого треугольника, опущенная из вершины $O$ на сторону $A_1A_2$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой угла при вершине. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, апофемой $r$ и половиной стороны, получаем соотношение: $r = R \cos(\frac{\angle A_1OA_2}{2}) = R \cos(\frac{30^\circ}{2}) = R \cos(15^\circ)$.

Теперь найдем длину диагонали $A_1A_6$. Эта диагональ является хордой описанной окружности. Она стягивает дугу $A_1A_6$, которая состоит из 5-ти дуг, соответствующих сторонам многоугольника ($A_1A_2, \dots, A_5A_6$). Угловая мера этой дуги, а значит и центральный угол $\angle A_1OA_6$, равна $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Длину хорды можно найти по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ — соответствующий центральный угол. В нашем случае: $A_1A_6 = 2R \sin(\frac{150^\circ}{2}) = 2R \sin(75^\circ)$.

Используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$: $\sin(75^\circ) = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos(15^\circ)$.

Подставим это значение в выражение для длины диагонали $A_1A_6$: $A_1A_6 = 2R \cos(15^\circ)$.

Сравнивая полученное выражение с выражением для радиуса вписанной окружности $r = R \cos(15^\circ)$, мы можем заключить: $A_1A_6 = 2(R \cos(15^\circ)) = 2r$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $A_1A_6 = 2r$.

1226 Диагонали A₁A₄ и А₂A₇ правильного десятиугольника A₁A₂...A₁₀, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B (рис. 356). Докажите, что:

а) А₂A₇ = 2R;

б) △А₁A₂В и △BA₄O — подобные равнобедренные треугольники;

в) А₁A₄ − А₁A₂ = R.

а) Правильный десятиугольник $A_1A_2...A_{10}$ вписан в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на окружности и делят её на 10 равных дуг. Величина каждой такой дуги составляет $360^\circ / 10 = 36^\circ$.

Рассмотрим диагональ $A_2A_7$. Она стягивает дугу, состоящую из 5 равных дуг: $A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6, A_6A_7$.

Следовательно, градусная мера дуги $A_2A_7$ равна $5 \times 36^\circ = 180^\circ$.

Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Длина диаметра равна двум радиусам ($2R$).

Таким образом, $A_2A_7 = 2R$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Сначала докажем, что треугольник $\triangle A_1A_2B$ является равнобедренным. Для этого найдем его углы.

Угол $\angle A_2A_1B$ (он же $\angle A_2A_1A_4$) — вписанный и опирается на дугу $A_2A_4$. Эта дуга состоит из двух частей по $36^\circ$, поэтому её величина равна $2 \times 36^\circ = 72^\circ$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, значит $\angle A_2A_1B = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Угол $\angle A_1A_2B$ (он же $\angle A_1A_2A_7$) — вписанный и опирается на дугу $A_1A_7$. Кратчайшая дуга между $A_7$ и $A_1$ (через $A_8, A_9, A_{10}$) состоит из 4 частей по $36^\circ$, поэтому её величина равна $4 \times 36^\circ = 144^\circ$. Значит, $\angle A_1A_2B = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

Третий угол треугольника $\triangle A_1A_2B$ равен $\angle A_1BA_2 = 180^\circ - (\angle A_2A_1B + \angle A_1A_2B) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$.

Поскольку $\angle A_1A_2B = \angle A_1BA_2 = 72^\circ$, треугольник $\triangle A_1A_2B$ равнобедренный.

Теперь докажем, что треугольник $\triangle BA_4O$ является равнобедренным и подобным $\triangle A_1A_2B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_4$. Он равнобедренный, так как $OA_1 = OA_4 = R$. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на дугу $A_1A_4$, состоящую из 3 частей, и равен $3 \times 36^\circ = 108^\circ$. Углы при основании равны: $\angle OA_1A_4 = \angle OA_4A_1 = (180^\circ - 108^\circ)/2 = 36^\circ$. Значит, $\angle BA_4O = \angle A_1A_4O = 36^\circ$.

Угол $\angle BOA_4$ — это угол между отрезками $OB$ и $OA_4$. Точка $B$ лежит на диаметре $A_2A_7$, как и центр $O$. Рассмотрим центральный угол $\angle A_2OA_4$. Он опирается на дугу $A_2A_4$, состоящую из 2 частей, и равен $2 \times 36^\circ = 72^\circ$. Из расположения точек следует, что $B$ находится между $O$ и $A_2$, поэтому луч $OB$ совпадает с лучом $OA_2$. Таким образом, $\angle BOA_4 = \angle A_2OA_4 = 72^\circ$.

Третий угол треугольника $\triangle BA_4O$ равен $\angle OBA_4 = 180^\circ - (\angle BA_4O + \angle BOA_4) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$.

Поскольку $\angle BOA_4 = \angle OBA_4 = 72^\circ$, треугольник $\triangle BA_4O$ также равнобедренный.

Углы треугольника $\triangle A_1A_2B$ равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. Углы треугольника $\triangle BA_4O$ также равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. Следовательно, эти треугольники подобны по трём углам.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Из доказательства в пункте б) мы знаем, что $\triangle A_1A_2B$ и $\triangle BA_4O$ — равнобедренные треугольники.

В $\triangle A_1A_2B$ равны углы при вершинах $A_2$ и $B$, следовательно, равны противолежащие им стороны: $A_1B = A_1A_2$.

В $\triangle BA_4O$ равны углы при вершинах $O$ и $B$, следовательно, равны противолежащие им стороны: $BA_4 = OA_4$.

Так как $OA_4$ является радиусом описанной окружности, $OA_4 = R$. Отсюда следует, что $BA_4 = R$.

Точка $B$ является точкой пересечения диагоналей $A_1A_4$ и $A_2A_7$, поэтому она лежит на отрезке $A_1A_4$. Длина этого отрезка равна сумме длин его частей: $A_1A_4 = A_1B + BA_4$.

Подставим найденные равенства в это выражение:

$A_1A_4 = A_1A_2 + R$

Перенеся $A_1A_2$ в левую часть, получим:

$A_1A_4 - A_1A_2 = R$

Ответ: Что и требовалось доказать.

1227 В круг, площадь которого равна 36π см², вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.

Сначала найдем радиус $R$ круга. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

По условию, площадь круга равна $36\pi$ см?.

$\pi R^2 = 36\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим:

$R^2 = 36$

Следовательно, радиус круга $R = \sqrt{36} = 6$ см.

сторону этого шестиугольника

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, длина его стороны $a$ равна радиусу $R$ описанной окружности.

Следовательно, $a = R = 6$ см.

Ответ: 6 см.

его площадь

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, равной радиусу описанной окружности. Площадь одного такого треугольника $S_{\triangle}$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь всего шестиугольника $S_{шест}$ равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{шест} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{шест} = \frac{3 \times 6^2 \times \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 36 \times \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$ см?.

Ответ: $54\sqrt{3}$ см?.

1228 Квадрат А₁А₂А₃А₄ вписан в окружность радиуса R (рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что ${А}_1{В}_1={А}_2{В}_2={А}_3{В}_3={А}_4{В}_4={А}_1{С}_1={А}_2{С}_2={А}_3{С}_3={А}_4{С}_4=R.$ Докажите, что восьми угольник В₁С₃В₂С₄В₃С₁В₄C₂ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Для решения задачи сперва определим геометрические параметры фигур, исходя из условия. Затем мы проверим утверждение о правильности восьмиугольника и вычислим его площадь.

Квадрат $A_1A_2A_3A_4$ вписан в окружность радиуса $R$. Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности, а диагональ квадрата является диаметром окружности и равна $2R$. Пусть сторона квадрата равна $s$. По теореме Пифагора для треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:$s^2 + s^2 = (2R)^2$$2s^2 = 4R^2$$s^2 = 2R^2 \implies s = R\sqrt{2}$

На сторонах квадрата отмечены восемь точек. Условия $A_1B_1 = R$, $A_2B_2 = R$ и т.д., а также $A_1C_1 = R$, $A_2C_2 = R$ и т.д., вместе с рисунком и названием восьмиугольника $B_1C_2B_2C_3B_3C_4B_4C_1$ позволяют однозначно определить расположение точек. Восьмиугольник образуется путем отсечения от вершин квадрата четырех прямугольных треугольников.

• У вершины $A_1$ отсекается треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с катетами $A_1B_1 = R$ и $A_1C_1 = R$.
• У вершины $A_2$ отсекается треугольник $\triangle A_2B_2C_2$ с катетами $A_2B_2 = R$ и $A_2C_2 = R$.
• У вершины $A_3$ отсекается треугольник $\triangle A_3B_3C_3$ с катетами $A_3B_3 = R$ и $A_3C_3 = R$.
• У вершины $A_4$ отсекается треугольник $\triangle A_4B_4C_4$ с катетами $A_4B_4 = R$ и $A_4C_4 = R$.

Заметим, что длина стороны квадрата $s=R\sqrt{2} \approx 1.414R$. Так как $R < R\sqrt{2}$, все указанные точки действительно лежат на сторонах квадрата.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Проверим равенство сторон восьмиугольника.

Стороны восьмиугольника бывают двух типов:

1. Стороны, являющиеся гипотенузами отсеченных треугольников. Например, сторона $C_2B_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle A_2C_2B_2$. Его катеты равны $A_2C_2=R$ и $A_2B_2=R$. По теореме Пифагора: $C_2B_2 = \sqrt{A_2C_2^2 + A_2B_2^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($C_2B_2, C_3B_3, C_4B_4, C_1B_1$) имеют длину $R\sqrt{2}$.
2. Стороны, лежащие на сторонах исходного квадрата. Например, сторона $B_1C_2$ лежит на стороне квадрата $A_1A_2$. Точки $B_1$ и $C_2$ расположены на отрезке $A_1A_2$ на расстояниях $A_1B_1=R$ и $A_2C_2=R$ от его концов. Длина стороны квадрата $s = A_1A_2 = R\sqrt{2}$. Длина отрезка $B_1C_2$ равна $|A_1A_2 - A_1B_1 - A_2C_2| = |R\sqrt{2} - R - R| = |R(\sqrt{2}-2)|$. Поскольку $2 > \sqrt{2}$, длина стороны $B_1C_2 = R(2-\sqrt{2})$. В силу симметрии, все 4 стороны такого типа ($B_1C_2, B_2C_3, B_3C_4, B_4C_1$) имеют длину $R(2-\sqrt{2})$.

Для того чтобы восьмиугольник был правильным, все его стороны должны быть равны, то есть должно выполняться равенство:$R\sqrt{2} = R(2-\sqrt{2})$$\sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$$2\sqrt{2} = 2$$\sqrt{2} = 1$

Это равенство неверно. Следовательно, стороны восьмиугольника не равны между собой, и восьмиугольник не является правильным. Условие задачи содержит неточность.

Ответ: Утверждение о том, что восьмиугольник является правильным, неверно, так как его стороны имеют разную длину: четыре стороны имеют длину $R\sqrt{2}$, а другие четыре — $R(2-\sqrt{2})$.

Площадь восьмиугольника $S_{oct}$ можно найти, вычтя из площади квадрата $S_{sq}$ площади четырех отсеченных прямоугольных треугольников ($S_{\triangle A_1B_1C_1}, S_{\triangle A_2B_2C_2}, \dots$).

1. Площадь квадрата $A_1A_2A_3A_4$ со стороной $s = R\sqrt{2}$ равна:$S_{sq} = s^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

2. Все четыре отсеченных треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$, $\triangle A_2B_2C_2$, $\triangle A_3B_3C_3$, $\triangle A_4B_4C_4$) являются прямоугольными и равнобедренными с катетами длины $R$. Площадь одного такого треугольника равна:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2}R^2$.

3. Суммарная площадь четырех отсеченных треугольников:$S_{4\triangle} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2}R^2 = 2R^2$.

4. Площадь восьмиугольника:$S_{oct} = S_{sq} - S_{4\triangle} = 2R^2 - 2R^2 = 0$.

Полученный результат означает, что при заданных в условии параметрах восьмиугольник вырождается (его площадь равна нулю). Это подтверждает наличие ошибки в формулировке задачи.

Ответ: $S_{oct} = 0$.