Страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1229 За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину одного оборота космического корабля. Известно, что за два оборота корабль пролетел 84 152 км. Следовательно, длина одного оборота, то есть длина круговой орбиты $C$, составляет:
$C = 84152 \text{ км} \div 2 = 42076 \text{ км}$

2. Зная длину орбиты (длину окружности), можно найти ее радиус $R_{орб}$. Формула длины окружности: $C = 2 \pi R$. Отсюда выразим радиус:
$R_{орб} = \frac{C}{2\pi}$
Подставим известные значения, приняв $\pi \approx 3.14$:
$R_{орб} = \frac{42076}{2 \times 3.14} = \frac{42076}{6.28} = 6700 \text{ км}$

3. Радиус орбиты корабля $R_{орб}$ — это сумма радиуса Земли $R_{Земли}$ и высоты корабля $h$ над поверхностью Земли:
$R_{орб} = R_{Земли} + h$
Чтобы найти высоту $h$, нужно из радиуса орбиты вычесть радиус Земли:
$h = R_{орб} - R_{Земли}$

4. Подставим числовые значения. Радиус Земли по условию равен 6370 км.
$h = 6700 \text{ км} - 6370 \text{ км} = 330 \text{ км}$

Ответ: космический корабль находится на высоте 330 км над поверхностью Земли.

1230 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:

а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см;

б) сторона ромба равна a и острый угол равен α.

а)

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр окружности. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен его высоте $h$. Таким образом, чтобы найти длину окружности, нам нужно найти высоту ромба.

Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами:

1. Через его диагонали $d_1$ и $d_2$: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
2. Через его сторону $a$ и высоту $h$: $S = a \cdot h$

Сначала найдем сторону ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба. Половины диагоналей равны $\frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{8}{2} = 4$ см. По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$: $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем площадь ромба, используя формулу с диагоналями: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см$^2$.

Зная площадь и сторону, мы можем найти высоту ромба: $S = a \cdot h \implies h = \frac{S}{a}$ $h = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, то есть $d = h = 4,8$ см. Теперь можем найти длину окружности: $C = \pi d = 4,8\pi$ см.

Ответ: $4,8\pi$ см.

б)

Длина вписанной окружности $C = \pi d$, где ее диаметр $d$ равен высоте ромба $h$. Следовательно, нам нужно найти высоту ромба, зная его сторону $a$ и острый угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и проекцией другой стороны. Угол, противолежащий катету $h$, равен острому углу ромба $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем высоту ромба: $h = a \cdot \sin(\alpha)$

Так как диаметр вписанной окружности $d = h$, то $d = a \cdot \sin(\alpha)$. Длина окружности равна: $C = \pi d = \pi a \sin(\alpha)$.

Ответ: $\pi a \sin(\alpha)$.

1231 Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.

Пусть $d$ — это диаметр круглого лесного участка в километрах, а $L$ — это длина его опушки (длина окружности). Скорость движения составляет $v = 4$ км/ч.

Длина опушки $L$ и диаметр $d$ связаны формулой для длины окружности: $L = \pi d$

Время $t_1$, необходимое для обхода участка по опушке, вычисляется как отношение длины опушки к скорости: $t_1 = \frac{L}{v} = \frac{\pi d}{4}$ часов.

Время $t_2$, необходимое для пересечения участка по диаметру, вычисляется как отношение диаметра к скорости: $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{d}{4}$ часов.

Согласно условию, на обход по опушке уходит на 45 минут больше времени. Переведем эту разницу во времени в часы для согласования единиц измерения: $45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4}$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, отражающее условие задачи: $t_1 - t_2 = \frac{3}{4}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{\pi d}{4} - \frac{d}{4} = \frac{3}{4}$

Чтобы упростить уравнение, умножим все его члены на 4: $\pi d - d = 3$

Перенесем все члены с $d$ в левую часть и вынесем $d$ за скобки: $d(\pi - 1) = 3$

Из этого уравнения выразим диаметр $d$: $d = \frac{3}{\pi - 1}$ км.

Цель задачи — найти длину опушки $L$. Воспользуемся формулой $L = \pi d$ и подставим в нее найденное выражение для $d$: $L = \pi \cdot \frac{3}{\pi - 1} = \frac{3\pi}{\pi - 1}$ км.

Это является точным ответом. Если подставить приближенное значение $\pi \approx 3,14$, то $L \approx \frac{3 \cdot 3,14}{3,14 - 1} = \frac{9,42}{2,14} \approx 4,4$ км.

Ответ: $\frac{3\pi}{\pi - 1}$ км.

1232 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Пусть $r$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности. Тогда площадь круга, ограниченного этой окружностью, $S_{кр}$, и длина этой окружности, $L$, выражаются следующими формулами:
$S_{кр} = \pi r^2$
$L = 2\pi r$

Пусть $P$ — периметр многоугольника, а $S_{мн}$ — его площадь. Площадь любого правильного многоугольника, описанного около окружности, можно вычислить как половину произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
$S_{мн} = \frac{1}{2} P \cdot r$

Нам необходимо доказать, что $\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L}{P}$.

Рассмотрим левую часть равенства — отношение площади круга к площади многоугольника. Подставим в него известные формулы:
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2} P \cdot r}$
Сократим дробь на $r$ (так как радиус вписанной окружности не может быть равен нулю):
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r}{\frac{1}{2} P} = \frac{2\pi r}{P}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства — отношение длины окружности к периметру многоугольника. Подставим в него формулу для длины окружности:
$\frac{L}{P} = \frac{2\pi r}{P}$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей доказываемого равенства, видим, что они тождественно равны:
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{2\pi r}{P}$
$\frac{L}{P} = \frac{2\pi r}{P}$
Следовательно, $\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L}{P}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

1233 Фигура ограничена бо€льшими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

Для решения задачи нам нужно найти длины двух больших дуг, стягиваемых общей хордой, а затем сложить их. Длина хорды $c = 6$ см.

1. Нахождение длины первой дуги (для окружности с вписанным квадратом)

В первой окружности хорда длиной 6 см является стороной вписанного квадрата. Обозначим эту сторону как $a_4$, а радиус первой окружности как $R_1$. Связь между стороной вписанного квадрата и радиусом описанной окружности задается формулой $a_4 = R_1\sqrt{2}$.

Выразим и вычислим радиус $R_1$:

$R_1 = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона квадрата, равен $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Это угол, соответствующий меньшей дуге.

По условию, фигура ограничена большей дугой, поэтому нам нужен центральный угол, соответствующий ей. Он равен $\beta_1 = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Для вычисления длины дуги переведем этот угол в радианы: $\theta_1 = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$ радиан.

Длина первой большой дуги $L_1$ находится по формуле $L = R\theta$:

$L_1 = R_1 \cdot \theta_1 = 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Нахождение длины второй дуги (для окружности с вписанным шестиугольником)

Во второй окружности та же хорда является стороной правильного вписанного шестиугольника. Обозначим эту сторону как $a_6$, а радиус второй окружности как $R_2$. Для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a_6 = R_2$.

Следовательно, радиус второй окружности $R_2 = 6$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона правильного шестиугольника, равен $\alpha_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $\beta_2 = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Переведем этот угол в радианы: $\theta_2 = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.

Длина второй большой дуги $L_2$ равна:

$L_2 = R_2 \cdot \theta_2 = 6 \cdot \frac{5\pi}{3} = 10\pi$ см.

3. Нахождение суммы длин этих дуг

Сумма длин двух больших дуг $L$ равна $L_1 + L_2$:

$L = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2} + 10\pi$

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки для получения окончательного вида ответа:

$L = \left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.

Ответ: $\left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.

1234 Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобокой. Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Согласно условию, основания равны $a = AD = 14$ см и $b = BC = 4$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны $c = AB = CD = 13$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя вершинами трапеции, например, для треугольника $ACD$. Радиус $R$ описанной окружности треугольника можно найти по обобщенной теореме синусов: $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$, где $d$ — одна из сторон треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Для треугольника $ACD$ возьмем его сторону $AC$ (диагональ трапеции) и противолежащий угол $\angle ADC$.

Сначала найдем высоту трапеции и ее диагональ. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от вершины тупого угла на большем основании, вычисляется по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Из этого же прямоугольного треугольника $CHD$ найдем синус угла $\angle ADC$:$\sin(\angle ADC) = \frac{CH}{CD} = \frac{12}{13}$.

Теперь найдем длину диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $AH$ равен $AD - HD = 14 - 5 = 9$ см. По теореме Пифагора для треугольника $ACH$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.Отсюда диагональ $AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности, используя найденные значения для диагонали $AC$ и синуса угла $\angle ADC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ADC)} = \frac{15}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{15 \cdot 13}{2 \cdot 12} = \frac{15 \cdot 13}{24}$.Сократив дробь на 3, получим:$R = \frac{5 \cdot 13}{8} = \frac{65}{8}$ см.

Длина описанной окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Подставим найденное значение радиуса:$L = 2\pi \cdot \frac{65}{8} = \frac{65\pi}{4}$ см.

Ответ: $\frac{65\pi}{4}$ см.

1235 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу, п. 71). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Дано:

Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. $CD$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Эта высота делит $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.

Известно, что эти треугольники подобны: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$. Пусть $k$ — коэффициент их подобия.

Пусть $L_1$ — длина окружности, вписанной в $\triangle ACD$, и $L_2$ — длина окружности, вписанной в $\triangle CBD$.

Доказать:

$\frac{L_1}{L_2} = k$.

Доказательство:

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности. Пусть $r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ACD$, а $r_2$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle CBD$. Тогда $L_1 = 2\pi r_1$ и $L_2 = 2\pi r_2$.

Найдем отношение длин окружностей:$\frac{L_1}{L_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2}$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что отношение радиусов вписанных окружностей двух подобных треугольников равно коэффициенту их подобия.

Это является общим свойством подобных фигур. Докажем его строго. Пусть $S_1$ и $P_1$ — площадь и периметр треугольника $\triangle ACD$ соответственно, а $S_2$ и $P_2$ — площадь и периметр треугольника $\triangle CBD$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{2S}{P}$. Следовательно, $r_1 = \frac{2S_1}{P_1}$ и $r_2 = \frac{2S_2}{P_2}$.

Для подобных треугольников с коэффициентом подобия $k$ отношение их периметров равно коэффициенту подобия, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{P_1}{P_2} = k$

$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

Теперь найдем отношение радиусов:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2S_1/P_1}{2S_2/P_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{P_2}{P_1}$

Подставим в это выражение соотношения для площадей и периметров:

$\frac{r_1}{r_2} = (k^2) \cdot \left(\frac{1}{k}\right) = k$

Поскольку $\frac{L_1}{L_2} = \frac{r_1}{r_2}$, мы получаем, что $\frac{L_1}{L_2} = k$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин окружностей, вписанных в треугольники, на которые высота, проведенная к гипотенузе, делит исходный прямоугольный треугольник, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

1236* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Для построения правильного восьмиугольника со стороной a, равной данному отрезку, можно использовать метод, основанный на построении квадрата, из которого "вырезается" восьмиугольник. Идея состоит в том, чтобы построить большой квадрат, а затем "срезать" у него углы таким образом, чтобы получился искомый правильный восьмиугольник.

Анализ

Пусть сторона искомого правильного восьмиугольника равна a. Если представить такой восьмиугольник, полученный из квадрата, то четыре его стороны будут лежать на сторонах этого квадрата, а четыре другие стороны будут образованы срезами углов квадрата.

Пусть сторона внешнего квадрата равна S. Углы квадрата срезаются по линиям, образуя на углах равнобедренные прямоугольные треугольники. Пусть катет такого треугольника равен x. Тогда его гипотенуза, которая является одной из сторон восьмиугольника, равна $x\sqrt{2}$.

По условию, эта сторона равна a, следовательно, $a = x\sqrt{2}$, откуда мы находим длину катета: $x = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Сторона квадрата S будет состоять из одной из сторон восьмиугольника (длиной a), которая лежит на стороне квадрата, и двух катетов x по краям. То есть, $S = x + a + x = a + 2x$.

Подставим найденное значение x: $S = a + 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})$.

Таким образом, задача сводится к построению с помощью циркуля и линейки отрезков $x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $S = a + a\sqrt{2}$, а затем к построению самого восьмиугольника на основе этих размеров.

Пошаговый план построения:

1. Построение вспомогательных отрезков.
   1. Возьмем данный отрезок, равный a.
   2. Построим квадрат со стороной a. Его диагональ будет равна $d = a\sqrt{2}$.
   3. Найдем середину этой диагонали d. Половина диагонали будет отрезком длиной $x = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
   4. Построим отрезок S, равный сумме длин отрезков a и d: $S = a + d = a + a\sqrt{2}$. Это делается путем откладывания на прямой отрезков a и d последовательно друг за другом.
2. Построение большого квадрата.
   1. На произвольной прямой отложим отрезок PQ, равный S.
   2. В точке P восставим перпендикуляр к прямой PQ.
   3. На этом перпендикуляре отложим отрезок PS, равный S.
   4. Из точки Q проведем дугу окружности радиусом S, а из точки S — дугу окружности также радиусом S. Точка их пересечения R будет четвертой вершиной квадрата.
   5. Соединим вершины Q с R и S с R. Квадрат PQRS построен.
3. Разметка вершин восьмиугольника.
   1. На каждой стороне квадрата PQRS от его вершин отложим отрезки, равные x (длина этого отрезка была найдена в шаге 1.c).
   2. На стороне PQ отложим $PV_1 = x$ и $QV_2 = x$.
   3. На стороне QR отложим $QV_3 = x$ и $RV_4 = x$.
   4. На стороне RS отложим $RV_5 = x$ и $SV_6 = x$.
   5. На стороне SP отложим $SV_7 = x$ и $PV_8 = x$.
   6. Таким образом, мы получили восемь точек: $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6, V_7, V_8$, которые будут вершинами нашего восьмиугольника.
4. Построение восьмиугольника.
   1. Последовательно соединим полученные точки отрезками: $V_1V_2, V_2V_3, V_3V_4, V_4V_5, V_5V_6, V_6V_7, V_7V_8$ и $V_8V_1$.

Полученная фигура $V_1V_2V_3V_4V_5V_6V_7V_8$ является искомым правильным восьмиугольником. Стороны, лежащие на сторонах квадрата (например, $V_1V_2$), имеют длину $S - 2x = (a + 2x) - 2x = a$. Стороны, образованные срезами углов (например, $V_2V_3$), являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом x и имеют длину $x\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = a$. Все внутренние углы восьмиугольника равны $135^\circ$.

Ответ: Правильный восьмиугольник построен в соответствии с описанным планом, который заключается в построении квадрата со стороной $S = a(1 + \sqrt{2})$ и последующем отсечении от его углов четырех одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников.

1237* Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.

Анализ

Пусть даны два круга с радиусами $r_1$ и $r_2$. Их площади равны $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ соответственно. Мы ищем круг с радиусом $R$ и площадью $S$, такой, что его площадь равна сумме площадей данных кругов: $S = S_1 + S_2$.
Подставим формулы площадей в это равенство:
$ \pi R^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 $
Разделив обе части уравнения на $ \pi $, получим:
$ R^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Это соотношение является математической формулировкой теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты равны $r_1$ и $r_2$, а гипотенуза равна $R$. Таким образом, задача сводится к построению отрезка, длина которого является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусам данных кругов. Этот отрезок и будет радиусом искомого круга.

Построение

1. Измерим с помощью циркуля радиусы $r_1$ и $r_2$ двух данных кругов.
2. Построим прямой угол. Для этого проведем произвольную прямую $a$ и выберем на ней точку $A$. Затем построим прямую $b$, проходящую через точку $A$ перпендикулярно прямой $a$.
3. На прямой $a$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный радиусу первого круга $r_1$.
4. На прямой $b$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный радиусу второго круга $r_2$.
5. Соединим точки $B$ и $C$. Полученный отрезок $BC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$. Длина этого отрезка $BC$ будет радиусом $R$ искомого круга.
6. Выберем на плоскости произвольную точку $O$ в качестве центра нового круга.
7. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $BC$.
Круг, ограниченный этой окружностью, является искомым.

Доказательство

По построению мы получили прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = r_1$ и $AC = r_2$. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $BC$ равен сумме квадратов длин катетов:
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Радиус $R$ построенного круга равен длине отрезка $BC$, то есть $R = BC$, и, следовательно, $R^2 = BC^2$.
Отсюда следует, что $R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
Площадь $S$ построенного круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Подставив найденное выражение для $R^2$, получаем:
$ S = \pi (r_1^2 + r_2^2) = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 $
Так как $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ являются площадями исходных кругов, то $S = S_1 + S_2$.
Таким образом, доказано, что площадь построенного круга равна сумме площадей двух данных кругов.

Ответ: Чтобы построить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных кругов, необходимо построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны радиусам данных кругов. Затем построить новый круг, радиус которого равен гипотенузе этого треугольника.

1238 Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.

а) правильный треугольник

Чтобы описать правильный треугольник около данной окружности с центром в точке O и радиусом r, нужно выполнить следующую последовательность построений:

1. Разделить окружность на три равные дуги. Для этого нужно построить три радиуса $OK_1, OK_2, OK_3$ так, чтобы углы между ними составляли $120^\circ$ ($360^\circ / 3 = 120^\circ$). Начните с выбора произвольной точки $K_1$ на окружности, проведите радиус $OK_1$. Затем с помощью транспортира или циркуля постройте угол $\angle K_1OK_2 = 120^\circ$ и угол $\angle K_2OK_3 = 120^\circ$. Точки $K_1, K_2, K_3$ будут точками касания сторон будущего треугольника.

2. Построить касательные к окружности в точках $K_1, K_2$ и $K_3$. Касательная к окружности в данной точке перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Таким образом, нужно построить прямую, проходящую через точку $K_1$ перпендикулярно радиусу $OK_1$, вторую прямую через $K_2$ перпендикулярно $OK_2$, и третью прямую через $K_3$ перпендикулярно $OK_3$.

3. Эти три касательные, пересекаясь, образуют искомый правильный треугольник. Вершины треугольника — это точки пересечения касательных.

Ответ: Для построения правильного треугольника, описанного около окружности, необходимо разделить окружность на три равные части точками $K_1, K_2, K_3$ и провести в этих точках касательные к окружности. Пересечения этих касательных образуют вершины искомого треугольника.

б) правильный шестиугольник

Чтобы описать правильный шестиугольник около данной окружности с центром в точке O и радиусом r, нужно выполнить следующие шаги:

1. Разделить окружность на шесть равных дуг. Центральный угол для правильного шестиугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Простейший способ деления окружности на шесть равных частей — использование циркуля. Выберите произвольную точку $K_1$ на окружности. Установите раствор циркуля равным радиусу окружности r. Начиная с точки $K_1$, последовательно откладывайте на окружности хорды, равные ее радиусу. Вы получите шесть точек $K_1, K_2, K_3, K_4, K_5, K_6$, которые и разделят окружность на шесть равных дуг. Эти точки будут точками касания сторон будущего шестиугольника.

2. Построить касательные к окружности в каждой из шести точек $K_1, \dots, K_6$. Как и в предыдущем пункте, каждая касательная строится как прямая, перпендикулярная радиусу в точке касания (например, касательная в точке $K_1$ перпендикулярна радиусу $OK_1$).

3. Точки пересечения соседних касательных образуют шесть вершин искомого правильного шестиугольника.

Ответ: Для построения правильного шестиугольника, описанного около окружности, необходимо разделить окружность на шесть равных частей (например, откладывая радиус по окружности), найти точки деления $K_1, \dots, K_6$ и провести в каждой из них касательную к окружности. Шестиугольник, образованный пересечением этих касательных, является искомым.

1239 Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник.

Задача состоит в том, чтобы описать (построить) вокруг данной окружности правильный многоугольник. Это означает, что все стороны многоугольника должны касаться окружности. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Основной принцип заключается в нахождении точек касания на окружности и проведении через них касательных.

а) правильный четырехугольник

Правильным четырехугольником является квадрат. Для его построения вокруг данной окружности (пусть ее центр — точка $O$) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести через центр окружности $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Сначала проводим произвольный диаметр $AC$. Затем строим к нему перпендикулярный диаметр $BD$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$).
2. Точки $A, B, C, D$ являются точками, в которых стороны будущего квадрата будут касаться окружности.
3. Построить касательные к окружности в каждой из этих четырех точек. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, нужно:
   • через точку $A$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AC$;
   • через точку $B$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $BD$;
   • через точку $C$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AC$;
   • через точку $D$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $BD$.
4. Построенные четыре касательные пересекутся и образуют искомый квадрат, описанный около окружности.

Ответ: Для построения описанного квадрата необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра окружности и в их концах построить касательные к окружности. Пересечение этих касательных образует квадрат.

б) правильный восьмиугольник

Для построения правильного восьмиугольника, описанного около окружности с центром $O$, нужно найти восемь точек касания, равномерно распределенных по окружности.

1. Сначала находим четыре точки касания, как в предыдущем задании. Строим два взаимно перпендикулярных диаметра $AC$ и $BD$. Точки $A, B, C, D$ — это четыре из восьми необходимых точек касания.
2. Чтобы найти оставшиеся четыре точки, необходимо разделить дуги между уже найденными точками пополам. Это достигается путем построения биссектрис центральных углов, образованных радиусами. Мы имеем четыре прямых угла: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$.
3. Строим биссектрисы этих четырех углов. Каждая биссектриса пересечет окружность в новой точке. Обозначим все восемь точек на окружности по порядку: $A, E, B, F, C, G, D, H$. Эти точки делят окружность на восемь равных дуг, и они будут являться точками касания сторон правильного восьмиугольника.
4. Через каждую из восьми полученных точек ($A, E, B, F, C, G, D, H$) проводим касательную к окружности. Каждая касательная строится как прямая, перпендикулярная радиусу, проведенному в соответствующую точку касания (например, в точке $E$ касательная перпендикулярна радиусу $OE$).
5. Эти восемь касательных, пересекаясь, образуют искомый правильный восьмиугольник, описанный около данной окружности.

Ответ: Для построения описанного правильного восьмиугольника сначала строятся концы двух перпендикулярных диаметров, а затем — биссектрисы четырех образовавшихся центральных прямых углов для нахождения еще четырех точек на окружности. В полученных восьми точках строятся касательные, которые и образуют искомый восьмиугольник.