Номер 1235, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1235, страница 312.

Условие.

1235 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу, п. 71). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Дано:

Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. $CD$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Эта высота делит $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.

Известно, что эти треугольники подобны: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$. Пусть $k$ — коэффициент их подобия.

Пусть $L_1$ — длина окружности, вписанной в $\triangle ACD$, и $L_2$ — длина окружности, вписанной в $\triangle CBD$.

Доказать:

$\frac{L_1}{L_2} = k$.

Доказательство:

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности. Пусть $r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ACD$, а $r_2$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle CBD$. Тогда $L_1 = 2\pi r_1$ и $L_2 = 2\pi r_2$.

Найдем отношение длин окружностей:$\frac{L_1}{L_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2}$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что отношение радиусов вписанных окружностей двух подобных треугольников равно коэффициенту их подобия.

Это является общим свойством подобных фигур. Докажем его строго. Пусть $S_1$ и $P_1$ — площадь и периметр треугольника $\triangle ACD$ соответственно, а $S_2$ и $P_2$ — площадь и периметр треугольника $\triangle CBD$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{2S}{P}$. Следовательно, $r_1 = \frac{2S_1}{P_1}$ и $r_2 = \frac{2S_2}{P_2}$.

Для подобных треугольников с коэффициентом подобия $k$ отношение их периметров равно коэффициенту подобия, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{P_1}{P_2} = k$

$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

Теперь найдем отношение радиусов:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2S_1/P_1}{2S_2/P_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{P_2}{P_1}$

Подставим в это выражение соотношения для площадей и периметров:

$\frac{r_1}{r_2} = (k^2) \cdot \left(\frac{1}{k}\right) = k$

Поскольку $\frac{L_1}{L_2} = \frac{r_1}{r_2}$, мы получаем, что $\frac{L_1}{L_2} = k$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин окружностей, вписанных в треугольники, на которые высота, проведенная к гипотенузе, делит исходный прямоугольный треугольник, равно коэффициенту подобия этих треугольников.