Номер 1238, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1238, страница 312.

1238 Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.

а) правильный треугольник

Чтобы описать правильный треугольник около данной окружности с центром в точке O и радиусом r, нужно выполнить следующую последовательность построений:

1. Разделить окружность на три равные дуги. Для этого нужно построить три радиуса $OK_1, OK_2, OK_3$ так, чтобы углы между ними составляли $120^\circ$ ($360^\circ / 3 = 120^\circ$). Начните с выбора произвольной точки $K_1$ на окружности, проведите радиус $OK_1$. Затем с помощью транспортира или циркуля постройте угол $\angle K_1OK_2 = 120^\circ$ и угол $\angle K_2OK_3 = 120^\circ$. Точки $K_1, K_2, K_3$ будут точками касания сторон будущего треугольника.

2. Построить касательные к окружности в точках $K_1, K_2$ и $K_3$. Касательная к окружности в данной точке перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Таким образом, нужно построить прямую, проходящую через точку $K_1$ перпендикулярно радиусу $OK_1$, вторую прямую через $K_2$ перпендикулярно $OK_2$, и третью прямую через $K_3$ перпендикулярно $OK_3$.

3. Эти три касательные, пересекаясь, образуют искомый правильный треугольник. Вершины треугольника — это точки пересечения касательных.

Ответ: Для построения правильного треугольника, описанного около окружности, необходимо разделить окружность на три равные части точками $K_1, K_2, K_3$ и провести в этих точках касательные к окружности. Пересечения этих касательных образуют вершины искомого треугольника.

б) правильный шестиугольник

Чтобы описать правильный шестиугольник около данной окружности с центром в точке O и радиусом r, нужно выполнить следующие шаги:

1. Разделить окружность на шесть равных дуг. Центральный угол для правильного шестиугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Простейший способ деления окружности на шесть равных частей — использование циркуля. Выберите произвольную точку $K_1$ на окружности. Установите раствор циркуля равным радиусу окружности r. Начиная с точки $K_1$, последовательно откладывайте на окружности хорды, равные ее радиусу. Вы получите шесть точек $K_1, K_2, K_3, K_4, K_5, K_6$, которые и разделят окружность на шесть равных дуг. Эти точки будут точками касания сторон будущего шестиугольника.

2. Построить касательные к окружности в каждой из шести точек $K_1, \dots, K_6$. Как и в предыдущем пункте, каждая касательная строится как прямая, перпендикулярная радиусу в точке касания (например, касательная в точке $K_1$ перпендикулярна радиусу $OK_1$).

3. Точки пересечения соседних касательных образуют шесть вершин искомого правильного шестиугольника.

Ответ: Для построения правильного шестиугольника, описанного около окружности, необходимо разделить окружность на шесть равных частей (например, откладывая радиус по окружности), найти точки деления $K_1, \dots, K_6$ и провести в каждой из них касательную к окружности. Шестиугольник, образованный пересечением этих касательных, является искомым.