Номер 1236, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1236, страница 312.

1236* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Для построения правильного восьмиугольника со стороной a, равной данному отрезку, можно использовать метод, основанный на построении квадрата, из которого "вырезается" восьмиугольник. Идея состоит в том, чтобы построить большой квадрат, а затем "срезать" у него углы таким образом, чтобы получился искомый правильный восьмиугольник.

Анализ

Пусть сторона искомого правильного восьмиугольника равна a. Если представить такой восьмиугольник, полученный из квадрата, то четыре его стороны будут лежать на сторонах этого квадрата, а четыре другие стороны будут образованы срезами углов квадрата.

Пусть сторона внешнего квадрата равна S. Углы квадрата срезаются по линиям, образуя на углах равнобедренные прямоугольные треугольники. Пусть катет такого треугольника равен x. Тогда его гипотенуза, которая является одной из сторон восьмиугольника, равна $x\sqrt{2}$.

По условию, эта сторона равна a, следовательно, $a = x\sqrt{2}$, откуда мы находим длину катета: $x = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Сторона квадрата S будет состоять из одной из сторон восьмиугольника (длиной a), которая лежит на стороне квадрата, и двух катетов x по краям. То есть, $S = x + a + x = a + 2x$.

Подставим найденное значение x: $S = a + 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})$.

Таким образом, задача сводится к построению с помощью циркуля и линейки отрезков $x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $S = a + a\sqrt{2}$, а затем к построению самого восьмиугольника на основе этих размеров.

Пошаговый план построения:

1. Построение вспомогательных отрезков.
   1. Возьмем данный отрезок, равный a.
   2. Построим квадрат со стороной a. Его диагональ будет равна $d = a\sqrt{2}$.
   3. Найдем середину этой диагонали d. Половина диагонали будет отрезком длиной $x = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
   4. Построим отрезок S, равный сумме длин отрезков a и d: $S = a + d = a + a\sqrt{2}$. Это делается путем откладывания на прямой отрезков a и d последовательно друг за другом.
2. Построение большого квадрата.
   1. На произвольной прямой отложим отрезок PQ, равный S.
   2. В точке P восставим перпендикуляр к прямой PQ.
   3. На этом перпендикуляре отложим отрезок PS, равный S.
   4. Из точки Q проведем дугу окружности радиусом S, а из точки S — дугу окружности также радиусом S. Точка их пересечения R будет четвертой вершиной квадрата.
   5. Соединим вершины Q с R и S с R. Квадрат PQRS построен.
3. Разметка вершин восьмиугольника.
   1. На каждой стороне квадрата PQRS от его вершин отложим отрезки, равные x (длина этого отрезка была найдена в шаге 1.c).
   2. На стороне PQ отложим $PV_1 = x$ и $QV_2 = x$.
   3. На стороне QR отложим $QV_3 = x$ и $RV_4 = x$.
   4. На стороне RS отложим $RV_5 = x$ и $SV_6 = x$.
   5. На стороне SP отложим $SV_7 = x$ и $PV_8 = x$.
   6. Таким образом, мы получили восемь точек: $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6, V_7, V_8$, которые будут вершинами нашего восьмиугольника.
4. Построение восьмиугольника.
   1. Последовательно соединим полученные точки отрезками: $V_1V_2, V_2V_3, V_3V_4, V_4V_5, V_5V_6, V_6V_7, V_7V_8$ и $V_8V_1$.

Полученная фигура $V_1V_2V_3V_4V_5V_6V_7V_8$ является искомым правильным восьмиугольником. Стороны, лежащие на сторонах квадрата (например, $V_1V_2$), имеют длину $S - 2x = (a + 2x) - 2x = a$. Стороны, образованные срезами углов (например, $V_2V_3$), являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом x и имеют длину $x\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = a$. Все внутренние углы восьмиугольника равны $135^\circ$.

Ответ: Правильный восьмиугольник построен в соответствии с описанным планом, который заключается в построении квадрата со стороной $S = a(1 + \sqrt{2})$ и последующем отсечении от его углов четырех одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников.