Номер 1233, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1233, страница 312.

Условие.

1233 Фигура ограничена бо€льшими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи нам нужно найти длины двух больших дуг, стягиваемых общей хордой, а затем сложить их. Длина хорды $c = 6$ см.

1. Нахождение длины первой дуги (для окружности с вписанным квадратом)

В первой окружности хорда длиной 6 см является стороной вписанного квадрата. Обозначим эту сторону как $a_4$, а радиус первой окружности как $R_1$. Связь между стороной вписанного квадрата и радиусом описанной окружности задается формулой $a_4 = R_1\sqrt{2}$.

Выразим и вычислим радиус $R_1$:

$R_1 = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона квадрата, равен $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Это угол, соответствующий меньшей дуге.

По условию, фигура ограничена большей дугой, поэтому нам нужен центральный угол, соответствующий ей. Он равен $\beta_1 = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Для вычисления длины дуги переведем этот угол в радианы: $\theta_1 = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$ радиан.

Длина первой большой дуги $L_1$ находится по формуле $L = R\theta$:

$L_1 = R_1 \cdot \theta_1 = 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Нахождение длины второй дуги (для окружности с вписанным шестиугольником)

Во второй окружности та же хорда является стороной правильного вписанного шестиугольника. Обозначим эту сторону как $a_6$, а радиус второй окружности как $R_2$. Для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a_6 = R_2$.

Следовательно, радиус второй окружности $R_2 = 6$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона правильного шестиугольника, равен $\alpha_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $\beta_2 = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Переведем этот угол в радианы: $\theta_2 = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.

Длина второй большой дуги $L_2$ равна:

$L_2 = R_2 \cdot \theta_2 = 6 \cdot \frac{5\pi}{3} = 10\pi$ см.

3. Нахождение суммы длин этих дуг

Сумма длин двух больших дуг $L$ равна $L_1 + L_2$:

$L = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2} + 10\pi$

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки для получения окончательного вида ответа:

$L = \left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.

Ответ: $\left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.