Номер 1233, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1233, страница 312.

1233 Фигура ограничена бо€льшими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

Для решения задачи нам нужно найти длины двух больших дуг, стягиваемых общей хордой, а затем сложить их. Длина хорды $c = 6$ см.

1. Нахождение длины первой дуги (для окружности с вписанным квадратом)

В первой окружности хорда длиной 6 см является стороной вписанного квадрата. Обозначим эту сторону как $a_4$, а радиус первой окружности как $R_1$. Связь между стороной вписанного квадрата и радиусом описанной окружности задается формулой $a_4 = R_1\sqrt{2}$.

Выразим и вычислим радиус $R_1$:

$R_1 = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона квадрата, равен $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Это угол, соответствующий меньшей дуге.

По условию, фигура ограничена большей дугой, поэтому нам нужен центральный угол, соответствующий ей. Он равен $\beta_1 = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Для вычисления длины дуги переведем этот угол в радианы: $\theta_1 = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$ радиан.

Длина первой большой дуги $L_1$ находится по формуле $L = R\theta$:

$L_1 = R_1 \cdot \theta_1 = 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Нахождение длины второй дуги (для окружности с вписанным шестиугольником)

Во второй окружности та же хорда является стороной правильного вписанного шестиугольника. Обозначим эту сторону как $a_6$, а радиус второй окружности как $R_2$. Для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a_6 = R_2$.

Следовательно, радиус второй окружности $R_2 = 6$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона правильного шестиугольника, равен $\alpha_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $\beta_2 = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Переведем этот угол в радианы: $\theta_2 = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.

Длина второй большой дуги $L_2$ равна:

$L_2 = R_2 \cdot \theta_2 = 6 \cdot \frac{5\pi}{3} = 10\pi$ см.

3. Нахождение суммы длин этих дуг

Сумма длин двух больших дуг $L$ равна $L_1 + L_2$:

$L = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2} + 10\pi$

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки для получения окончательного вида ответа:

$L = \left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.

Ответ: $\left( \frac{9\sqrt{2}}{2} + 10 \right) \pi$ см.