Номер 1232, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1232, страница 312.

Условие.

1232 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть $r$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности. Тогда площадь круга, ограниченного этой окружностью, $S_{кр}$, и длина этой окружности, $L$, выражаются следующими формулами:
$S_{кр} = \pi r^2$
$L = 2\pi r$

Пусть $P$ — периметр многоугольника, а $S_{мн}$ — его площадь. Площадь любого правильного многоугольника, описанного около окружности, можно вычислить как половину произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
$S_{мн} = \frac{1}{2} P \cdot r$

Нам необходимо доказать, что $\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L}{P}$.

Рассмотрим левую часть равенства — отношение площади круга к площади многоугольника. Подставим в него известные формулы:
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2} P \cdot r}$
Сократим дробь на $r$ (так как радиус вписанной окружности не может быть равен нулю):
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r}{\frac{1}{2} P} = \frac{2\pi r}{P}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства — отношение длины окружности к периметру многоугольника. Подставим в него формулу для длины окружности:
$\frac{L}{P} = \frac{2\pi r}{P}$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей доказываемого равенства, видим, что они тождественно равны:
$\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{2\pi r}{P}$
$\frac{L}{P} = \frac{2\pi r}{P}$
Следовательно, $\frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L}{P}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.