Номер 1237, страница 312 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга. Дополнительные задачи - номер 1237, страница 312.

Условие.

1237* Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Анализ

Пусть даны два круга с радиусами $r_1$ и $r_2$. Их площади равны $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ соответственно. Мы ищем круг с радиусом $R$ и площадью $S$, такой, что его площадь равна сумме площадей данных кругов: $S = S_1 + S_2$.
Подставим формулы площадей в это равенство:
$ \pi R^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 $
Разделив обе части уравнения на $ \pi $, получим:
$ R^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Это соотношение является математической формулировкой теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты равны $r_1$ и $r_2$, а гипотенуза равна $R$. Таким образом, задача сводится к построению отрезка, длина которого является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусам данных кругов. Этот отрезок и будет радиусом искомого круга.

Построение

1. Измерим с помощью циркуля радиусы $r_1$ и $r_2$ двух данных кругов.
2. Построим прямой угол. Для этого проведем произвольную прямую $a$ и выберем на ней точку $A$. Затем построим прямую $b$, проходящую через точку $A$ перпендикулярно прямой $a$.
3. На прямой $a$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный радиусу первого круга $r_1$.
4. На прямой $b$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный радиусу второго круга $r_2$.
5. Соединим точки $B$ и $C$. Полученный отрезок $BC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$. Длина этого отрезка $BC$ будет радиусом $R$ искомого круга.
6. Выберем на плоскости произвольную точку $O$ в качестве центра нового круга.
7. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $BC$.
Круг, ограниченный этой окружностью, является искомым.

Доказательство

По построению мы получили прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = r_1$ и $AC = r_2$. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $BC$ равен сумме квадратов длин катетов:
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Радиус $R$ построенного круга равен длине отрезка $BC$, то есть $R = BC$, и, следовательно, $R^2 = BC^2$.
Отсюда следует, что $R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
Площадь $S$ построенного круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Подставив найденное выражение для $R^2$, получаем:
$ S = \pi (r_1^2 + r_2^2) = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 $
Так как $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ являются площадями исходных кругов, то $S = S_1 + S_2$.
Таким образом, доказано, что площадь построенного круга равна сумме площадей двух данных кругов.

Ответ: Чтобы построить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных кругов, необходимо построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны радиусам данных кругов. Затем построить новый круг, радиус которого равен гипотенузе этого треугольника.