Номер 1243, страница 318 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1243, страница 318.

Условие.

1243 Докажите, что при движении четырехугольник отображается на четырехугольник.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением движения и четырехугольника.

Движение (изометрия) – это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. То есть, если точки $M$ и $N$ при движении $f$ отображаются в точки $M'$ и $N'$, то расстояние между $M$ и $N$ равно расстоянию между $M'$ и $N'$: $MN = M'N'$.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из четырех точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Его вершины – точки $A$, $B$, $C$, $D$. По определению, никакие три из этих вершин не лежат на одной прямой. Стороны четырехугольника – отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Рассмотрим произвольное движение $f$. При этом движении вершины четырехугольника $A, B, C, D$ отобразятся в некоторые точки $A', B', C', D'$.

Важным свойством движения является то, что оно отображает отрезок на отрезок, равный ему по длине. Следовательно, стороны $AB, BC, CD, DA$ исходного четырехугольника отобразятся на отрезки $A'B', B'C', C'D', D'A'$. Таким образом, мы получаем фигуру $A'B'C'D'$, состоящую из четырех вершин и четырех сторон.

Чтобы доказать, что фигура $A'B'C'D'$ является четырехугольником, необходимо показать, что никакие три из ее вершин не лежат на одной прямой. Докажем это методом от противного.

Предположим, что три вершины, например $A'$, $B'$ и $C'$, лежат на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, то одна из них находится между двумя другими. Пусть, для определенности, точка $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$. В этом случае для длин отрезков выполняется равенство: $A'B' + B'C' = A'C'$.

Поскольку движение $f$ сохраняет расстояния, то:
$A'B' = AB$
$B'C' = BC$
$A'C' = AC$

Подставив эти равенства в предыдущее, получим: $AB + BC = AC$.

Это равенство означает, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ лежит между $A$ и $C$. Но это противоречит исходному условию, что $ABCD$ – четырехугольник, и никакие три его вершины не лежат на одной прямой.

Следовательно, наше предположение о том, что точки $A', B', C'$ лежат на одной прямой, неверно. Аналогичные рассуждения можно провести для любой другой тройки вершин ($A', B', D'$; $A', C', D'$; $B', C', D'$).

Таким образом, фигура $A'B'C'D'$ состоит из четырех вершин, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков, их соединяющих. По определению, эта фигура является четырехугольником.

Ответ: Мы доказали, что при движении вершины четырехугольника отображаются в четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а стороны – в отрезки, соединяющие эти точки. Следовательно, образ четырехугольника при движении является четырехугольником. Что и требовалось доказать.