Номер 1246, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1246, страница 319.

Условие.

1246 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). То есть, для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, выполняется условие: расстояние $|OM| = R$.

Рассмотрим произвольное движение (изометрию) $f$. Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ расстояние между их образами $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ равно расстоянию между исходными точками: $|A'B'| = |AB|$.

Нам нужно доказать, что образ окружности $\omega$ при движении $f$, который мы обозначим как $\omega'$, является окружностью того же радиуса $R$.

Доказательство состоит из двух частей.

1. Сначала докажем, что любая точка образа $\omega'$ лежит на некоторой окружности радиуса $R$.
Пусть $O' = f(O)$ — образ центра исходной окружности. Возьмем произвольную точку $M$ на окружности $\omega$. Ее образ $M' = f(M)$ принадлежит образу $\omega'$.
По определению окружности $\omega$, расстояние $|OM| = R$.
Так как $f$ — это движение, оно сохраняет расстояние между точками $O$ и $M$. Следовательно, расстояние между их образами $O'$ и $M'$ будет таким же:$|O'M'| = |f(O)f(M)| = |OM| = R$.
Это означает, что любая точка $M'$ образа $\omega'$ удалена от точки $O'$ на расстояние $R$. Таким образом, все точки множества $\omega'$ лежат на окружности с центром в $O'$ и радиусом $R$.

2. Теперь докажем, что любая точка окружности с центром $O'$ и радиусом $R$ является образом некоторой точки исходной окружности $\omega$.
Возьмем произвольную точку $P'$ на окружности с центром $O'$ и радиусом $R$. Это означает, что $|O'P'| = R$.
Движение $f$ имеет обратное преобразование $f^{-1}$, которое также является движением. Найдем прообраз точки $P'$, то есть точку $P = f^{-1}(P')$. Прообразом точки $O'$ является исходный центр $O = f^{-1}(O')$.
Поскольку $f^{-1}$ — движение, оно сохраняет расстояние между точками $O'$ и $P'$:$|OP| = |f^{-1}(O')f^{-1}(P')| = |O'P'| = R$.
Равенство $|OP| = R$ означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности $\omega$. Следовательно, любая точка $P'$ окружности с центром $O'$ и радиусом $R$ является образом некоторой точки $P$ с окружности $\omega$.

Из двух частей доказательства следует, что образ $\omega'$ окружности $\omega$ при движении $f$ в точности совпадает с окружностью с центром в точке $O'$ и радиусом $R$. Таким образом, при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Ответ: Доказано, что при движении (изометрии) окружность с центром $O$ и радиусом $R$ отображается на окружность с центром в точке $f(O)$ (образ центра $O$) и тем же радиусом $R$.