Номер 1251, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1251, страница 319.

Условие.

1251 Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для построения прямой $b'$, симметричной данной прямой $b$ относительно оси (прямой) $a$, необходимо рассмотреть три возможных случая взаимного расположения прямых $a$ и $b$. Общий принцип построения заключается в том, чтобы найти образы двух различных точек прямой $b$ при данной симметрии и провести через них новую прямую.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ пересекаются

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Поскольку точка $M$ лежит на оси симметрии $a$, она отображается сама в себя, то есть точка $M$ принадлежит и искомой прямой $b'$. Для нахождения второй точки прямой $b'$ выберем на прямой $b$ произвольную точку $N$, не совпадающую с $M$. Далее построим для нее симметричную точку $N'$. Для этого: 1) Проведем через точку $N$ прямую, перпендикулярную оси $a$. Пусть $H$ — точка пересечения этой прямой с осью $a$. 2) На этой перпендикулярной прямой отложим отрезок $HN'$, равный отрезку $HN$, так, чтобы точки $N$ и $N'$ лежали в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Полученная точка $N'$ является образом точки $N$. 3) Проводим прямую $b'$ через точки $M$ и $N'$. Эта прямая и будет искомой.

Ответ: Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то искомая прямая $b'$ также проходит через точку $M$. При этом прямая $a$ является биссектрисой угла, образованного прямыми $b$ и $b'$.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ параллельны

Поскольку прямые не пересекаются, для построения искомой прямой $b'$ необходимо найти образы двух любых различных точек прямой $b$. Выберем на прямой $b$ две произвольные точки $M$ и $N$. Для каждой из них построим симметричную точку. Для точки $M$: 1) Проведем через $M$ прямую, перпендикулярную оси $a$, и пусть она пересекает $a$ в точке $H_M$. 2) На продолжении отрезка $MH_M$ за точку $H_M$ отложим отрезок $H_M M'$, равный $MH_M$. Точка $M'$ — образ точки $M$. Аналогично для точки $N$ строим ее образ $N'$: проводим перпендикуляр к $a$ через $N$, получаем точку $H_N$, и откладываем отрезок $H_N N'$, равный отрезку $NH_N$. Проводим прямую $b'$ через точки $M'$ и $N'$.

Ответ: Если прямая $b$ параллельна прямой $a$, то искомая прямая $b'$ также параллельна прямым $a$ и $b$. Прямая $a$ будет равноудалена от прямых $b$ и $b'$.

Случай 3: Прямые $a$ и $b$ совпадают

В этом случае каждая точка прямой $b$ одновременно является точкой прямой $a$. При осевой симметрии относительно прямой $a$ любая точка, принадлежащая этой прямой, отображается сама в себя. Следовательно, образ каждой точки прямой $b$ совпадает с этой же точкой.

Ответ: Если прямая $b$ совпадает с осью симметрии $a$, то ее образом является она сама, то есть $b' = b = a$.