Номер 1258, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот - номер 1258, страница 322.

Условие.

1258 Начертите отрезок AB и вектор ММ₁. Постройте отрезок A₁B₁, который получается из отрезка AB параллельным переносом на вектор ММ₁.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для того чтобы построить отрезок $A_1B_1$, который получается из отрезка $AB$ параллельным переносом на вектор $\vec{MM_1}$, необходимо выполнить параллельный перенос его конечных точек, то есть точек $A$ и $B$, на заданный вектор.

Параллельный перенос точки $A$ на вектор $\vec{MM_1}$ дает точку $A_1$, такую что вектор $\vec{AA_1}$ равен вектору $\vec{MM_1}$. Аналогично, параллельный перенос точки $B$ на вектор $\vec{MM_1}$ дает точку $B_1$, такую что $\vec{BB_1} = \vec{MM_1}$.

Равенство векторов, например $\vec{AA_1} = \vec{MM_1}$, означает, что эти векторы сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и указывают в одном направлении) и их длины равны ($|AA_1| = |MM_1|$). Геометрически это означает, что четырехугольник $MM_1A_1A$ является параллелограммом (или его вершины лежат на одной прямой).

Таким образом, для построения искомого отрезка $A_1B_1$ следует выполнить следующие шаги:

1. Начертить на плоскости произвольный отрезок $AB$ и произвольный вектор $\vec{MM_1}$.
2. Построить точку $A_1$, образ точки $A$. Для этого с помощью циркуля и линейки через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой, содержащей вектор $\vec{MM_1}$. Затем циркулем измерить длину вектора $\vec{MM_1}$ (расстояние $MM_1$) и отложить на построенной прямой от точки $A$ отрезок $AA_1$ этой длины в том же направлении, что и вектор $\vec{MM_1}$.
3. Построить точку $B_1$, образ точки $B$. Аналогично, через точку $B$ провести прямую, параллельную вектору $\vec{MM_1}$. На этой прямой от точки $B$ отложить отрезок $BB_1$, равный по длине вектору $\vec{MM_1}$ и сонаправленный с ним.
4. Соединить полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Построенный отрезок $A_1B_1$ и есть искомый отрезок. В результате такого построения четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом, так как по построению векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны. Из этого следует, что отрезок $A_1B_1$ параллелен отрезку $AB$ и равен ему по длине.

Ответ: Чтобы построить отрезок $A_1B_1$, нужно сначала построить точку $A_1$ — образ точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{MM_1}$ (так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AA_1} = \vec{MM_1}$), а затем построить точку $B_1$ — образ точки $B$ при том же переносе (так, чтобы $\vec{BB_1} = \vec{MM_1}$). Соединив точки $A_1$ и $B_1$ отрезком, мы получим искомый отрезок $A_1B_1$.