Номер 1265, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1265, страница 322.

1265 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг неё на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$).

Точка $D$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами, высотами и серединными перпендикулярами. Это означает, что точка $D$ является одновременно центром вписанной окружности (инцентром), центром описанной окружности (циркумцентром), точкой пересечения медиан (центроидом) и точкой пересечения высот (ортоцентром).

Поскольку $D$ — центр описанной окружности, она равноудалена от всех вершин треугольника. Таким образом, расстояния от точки $D$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны между собой (и равны радиусу описанной окружности):
$DA = DB = DC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$. Так как $AD$, $BD$ и $CD$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно, они делят эти углы пополам:
$\angle DAB = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DBA = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DCB = \angle DCA = \frac{1}{2} \angle C = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Зная два угла в каждом из этих треугольников, мы можем найти третий угол при вершине $D$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle ADB$: $\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Для $\triangle BDC$: $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Для $\triangle CDA$: $\angle CDA = 180^\circ - (\angle DCA + \angle DAC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим поворот вокруг точки $D$ на угол $120^\circ$. Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ отображается на себя, достаточно показать, что его вершины переходят друг в друга.

1. При повороте точки $A$ вокруг центра $D$ на $120^\circ$ она перейдет в точку $A'$, для которой выполняется $DA = DA'$ и $\angle ADA' = 120^\circ$. Мы установили, что $DA = DB$ и $\angle ADB = 120^\circ$. Следовательно, при повороте (например, против часовой стрелки, если вершины пронумерованы в этом порядке) точка $A$ переходит в точку $B$.

2. Аналогично, при повороте точки $B$ вокруг $D$ на $120^\circ$, она перейдет в точку $B'$, для которой $DB = DB'$ и $\angle BDB' = 120^\circ$. Мы знаем, что $DB = DC$ и $\angle BDC = 120^\circ$. Значит, точка $B$ переходит в точку $C$.

3. И, наконец, при повороте точки $C$ вокруг $D$ на $120^\circ$, она перейдет в точку $C'$, для которой $DC = DC'$ и $\angle CDC' = 120^\circ$. Мы знаем, что $DC = DA$ и $\angle CDA = 120^\circ$. Значит, точка $C$ переходит в точку $A$.

Таким образом, при повороте на $120^\circ$ вокруг точки $D$ вершины треугольника $ABC$ переходят друг в друга: $A \to B$, $B \to C$ и $C \to A$. Поскольку положение треугольника однозначно определяется положением его вершин, треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

Ответ: Утверждение доказано.