Номер 1268, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот - номер 1268, страница 322.

Условие.

1268 Постройте прямую а₁, которая получается из прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.

Решение

а) Построим окружность с центром О, которая касается прямой а (объясните, как это сделать). Пусть M — точка касания. При повороте вокруг точки О эта окружность отображается на себя, а касательная а отображается на некоторую касательную a₁ (объясните почему). Для построения прямой а₁ построим сначала точку М₁, в которую отображается точка M при повороте вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, а затем проведём касательную а₁ к окружности в точке M₁.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

a) Прямая a не проходит через точку O.

Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет расстояния и углы. Образом прямой при движении является прямая. Следовательно, образом прямой $a$ будет некоторая прямая $a_1$. Для её построения воспользуемся методом, предложенным в условии, и дадим необходимые объяснения.

Объяснение, как построить окружность с центром O, которая касается прямой a.
Касательная к окружности имеет с ней ровно одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Расстояние от центра окружности $O$ до касательной $a$ равно радиусу этой окружности. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Следовательно, для построения такой окружности нужно:
1. С помощью циркуля и линейки построить перпендикуляр из точки $O$ к прямой $a$.
2. Обозначить точку их пересечения (основание перпендикуляра) как $M$.
3. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OM$.
Эта окружность будет касаться прямой $a$ в точке $M$.

Объяснение, почему касательная a отображается на некоторую касательную $a_1$.
При повороте вокруг своего центра $O$ окружность отображается сама на себя, так как расстояние от любой её точки до центра $O$ остаётся неизменным. Поворот является движением, а любое движение сохраняет свойство касания (то есть если прямая касалась фигуры, то образ прямой будет касаться образа фигуры).
Исходная прямая $a$ касается построенной окружности в точке $M$. Её образ, прямая $a_1$, будет касаться образа окружности (то есть той же самой окружности) в образе точки касания $M_1$ (где $M_1$ — результат поворота точки $M$). Таким образом, прямая $a_1$ также является касательной к этой окружности.

Построение прямой $a_1$.
1. Опускаем перпендикуляр из точки $O$ на прямую $a$. Находим точку их пересечения $M$.
2. Строим точку $M_1$, которая является образом точки $M$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого строим угол $\angle MOM_1 = 60^\circ$ (направление по часовой стрелке) и на его второй стороне откладываем отрезок $OM_1 = OM$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую $a_1$, перпендикулярную радиусу $OM_1$.
Прямая $a_1$ является искомой.

Ответ: Алгоритм построения: 1) опустить перпендикуляр из точки $O$ на прямую $a$ и найти точку их пересечения $M$; 2) повернуть точку $M$ вокруг центра $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке, получив точку $M_1$; 3) провести через точку $M_1$ прямую $a_1$, перпендикулярную отрезку $OM_1$.

б) Прямая a проходит через точку O.

Если прямая $a$ проходит через центр поворота $O$, то точка $O$ при повороте вокруг себя остаётся на месте (является неподвижной). Так как точка $O$ принадлежит прямой $a$, её образ (она сама) должен принадлежать образу прямой $a$, то есть прямой $a_1$. Следовательно, искомая прямая $a_1$ также проходит через точку $O$.

Для однозначного задания прямой необходимы две точки. Одна точка — $O$ — у нас уже есть. Для нахождения второй точки выберем на исходной прямой $a$ любую другую точку $P$, не совпадающую с $O$. Найдём её образ $P_1$ при повороте вокруг $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке.

Построение прямой $a_1$.
1. Выбираем на прямой $a$ произвольную точку $P$ ($P \neq O$).
2. Строим точку $P_1$ — образ точки $P$ при повороте вокруг центра $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого строим угол $\angle POP_1 = 60^\circ$ (по часовой стрелке) и на его второй стороне откладываем отрезок $OP_1 = OP$.
3. Проводим прямую через две точки: $O$ и $P_1$.
Эта прямая и есть искомая прямая $a_1$. Угол между прямыми $a$ и $a_1$ будет равен $60^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения: 1) выбрать на прямой $a$ любую точку $P$, отличную от $O$; 2) повернуть точку $P$ вокруг точки $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке, получив точку $P_1$; 3) провести прямую через точки $O$ и $P_1$.