Номер 1267, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1267, страница 322.

1267 Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают.

а) точки $O$ и $C$ не совпадают;

Поворот является движением (изометрией), поэтому при повороте окружность переходит в окружность того же радиуса. Чтобы построить окружность, полученную поворотом, достаточно найти новый центр окружности и сохранить ее радиус.

Новый центр окружности, назовем его $C'$, является образом исходного центра $C$ при заданном повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Радиус новой окружности $R'$ равен радиусу исходной окружности $R$.

Алгоритм построения:

1. Провести отрезок $OC$, соединяющий центр поворота $O$ и центр данной окружности $C$.
2. Построить луч, исходящий из точки $O$, который образует с лучом $OC$ угол, равный $60^\circ$. Поворот осуществляется против часовой стрелки, поэтому угол откладывается в соответствующем направлении.
3. На построенном луче от точки $O$ отложить отрезок $OC'$, длина которого равна длине отрезка $OC$. Точка $C'$ — это и есть новый центр искомой окружности.
4. Измерить радиус $R$ данной окружности.
5. Построить новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $R$.

Полученная окружность с центром $C'$ и радиусом $R$ является искомой.

Ответ: Искомая окружность имеет тот же радиус, что и данная, а ее центр $C'$ получается в результате поворота центра $C$ данной окружности вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Построение выполняется путем нахождения точки $C'$ и последующего чертежа окружности с центром в $C'$ и радиусом, равным радиусу исходной окружности.

б) точки $O$ и $C$ совпадают.

В этом случае центр поворота $O$ совпадает с центром данной окружности $C$. Это означает, что окружность поворачивается вокруг своего собственного центра.

При повороте фигуры вокруг ее центра симметрии (а центр окружности является ее центром симметрии), фигура переходит сама в себя. Каждая точка, лежащая на окружности, при повороте на любой угол вокруг ее центра переместится в другую точку, также лежащую на этой же окружности.

Центр $C$ при повороте вокруг самого себя (так как $O=C$) остается на месте. Радиус окружности при повороте не изменяется. Таким образом, полученная окружность будет иметь тот же центр и тот же радиус, что и исходная, то есть она будет полностью с ней совпадать.

Ответ: Искомая окружность совпадает с данной окружностью.